تانژانت زاویه: نسبتی طلایی در مثلث قائمالزاویه
۱. تعریف اصلی: صورت و مخرج کسر مثلثاتی
در یک مثلث قائمالزاویه، برای یک زاویۀ حاد A، نسبت تانژانت به صورت زیر تعریف میشود:
به بیان دیگر، اگر مثلث قائمالزاویهای داشته باشیم که زاویۀ A یکی از زوایای حاد آن باشد، ضلعی که روبروی این زاویه قرار دارد (و به زاویۀ قائم متصل نیست) «ضلع مقابل» و ضلعی که یکی از اضلاع زاویۀ A بوده و به زاویۀ قائم متصل است، «ضلع مجاور» نامیده میشود. توجه کنید که وتر (ضلع روبروی زاویۀ قائم) در این تعریف نقشی ندارد. برای مثال، اگر در مثلث قائمالزاویۀ زیر، زاویۀ $\hat{A}$ مد نظر باشد، داریم:
- $\tan A = \frac{BC}{AB}$
این نسبت بدون واحد است و مقدار آن به اندازۀ زاویه A وابسته است و به ابعاد مثلث بستگی ندارد. به همین دلیل، تانژانت یک تابع مثلثاتی محسوب میشود که میتواند مقادیر بسیار کوچک تا بسیار بزرگ را به خود بگیرد.
۲. رابطۀ تانژانت با سایر نسبتهای مثلثاتی
تانژانت را میتوان بر حسب دو نسبت اصلی دیگر یعنی سینوس1 و کسینوس2 نیز بیان کرد. از آنجایی که $\sin A = \frac{\text{مقابل}}{\text{وتر}}$ و $\cos A = \frac{\text{مجاور}}{\text{وتر}}$، با تقسیم سینوس بر کسینوس، وترها حذف شده و نسبت مقابل به مجاور باقی میماند:
این رابطه بسیار مهم است و به ما اجازه میدهد تا در صورت داشتن سینوس و کسینوس یک زاویه، به راحتی تانژانت آن را محاسبه کنیم. همچنین مشخص میکند که تانژانت برای زوایایی که کسینوس آنها صفر است (یعنی زاویههای $90^\circ$ و $270^\circ$ و ...) تعریفنشده است.
۳. جدول مقادیر تانژانت برای زوایای پرکاربرد
برای درک بهتر رفتار تابع تانژانت، مقادیر آن را برای چند زاویۀ معروف در یک جدول میآوریم. این مقادیر معمولاً در حل مسائل مثلثاتی بسیار کمککننده هستند.
| زاویه (درجه) | زاویه (رادیان) | $\tan \theta$ | توضیح |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | ضلع مقابل صفر است. |
| 30 | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$ | کمتر از یک |
| 45 | $\frac{\pi}{4}$ | 1 | ضلع مقابل و مجاور برابرند. |
| 60 | $\frac{\pi}{3}$ | $\sqrt{3} \approx 1.732$ | بزرگتر از یک |
| 90 | $\frac{\pi}{2}$ | تعریفنشده | ضلع مجاور (مخرج کسر) صفر است. |
۴. کاربرد عملی: محاسبۀ ارتفاع و فاصله
یکی از مهمترین کاربردهای تانژانت در زندگی روزمره، محاسبۀ ارتفاع اجسام دور از دسترس (مثل درخت، ساختمان یا کوه) است. فرض کنید میخواهیم ارتفاع یک ساختمان را بدون اندازهگیری مستقیم آن به دست آوریم. در فاصلۀ مشخصی از ساختمان میایستیم و با استفاده از یک وسیلۀ زاویهیاب (مثل تئودولیت)، زاویۀ بین خط افق و خطی که به بالای ساختمان کشیده میشود (زاویۀ ارتفاع) را اندازه میگیریم.
مثال عددی: شخصی در فاصلۀ 30 متری از یک برج ایستاده است. او زاویۀ بین خط افق و نوک برج را 60^\circ اندازه میگیرد. اگر چشم او در ارتفاع 1.5 متری از سطح زمین قرار داشته باشد، ارتفاع برج چقدر است؟
حل: در این مسئله، فاصلۀ افقی شخص از برج، ضلع مجاور زاویۀ 60^\circ است. ارتفاع برج (منهای ارتفاع چشم) ضلع مقابل این زاویه خواهد بود. داریم:
$\sqrt{3} \approx 1.732 = \frac{h - 1.5}{30}$
$h - 1.5 = 1.732 \times 30 = 51.96$
$h = 51.96 + 1.5 = 53.46$
بنابراین ارتفاع برج حدود 53.46 متر است.
۵. چالشهای مفهومی
❓ چرا تانژانت زاویههای نزدیک به ۹۰ درجه بسیار بزرگ میشود؟
✅ هرچه زاویه به ۹۰ درجه نزدیکتر میشود، ضلع مقابل در مثلث قائمالزاویه بلندتر و ضلع مجاور کوتاهتر میشود. در نتیجه کسر «مقابل بر مجاور» که همان تانژانت است، به سمت بینهایت میل میکند. در $90^\circ$، ضلع مجاور صفر شده و تقسیم بر صفر معنی ندارد.
❓ آیا تانژانت یک زاویه میتواند منفی باشد؟
✅ در مثلث قائمالزاویه (زاویه بین 0^\circ و 90^\circ)، طول اضلاع مثبت است، بنابراین تانژانت نیز مثبت است. اما اگر مفهوم تانژانت را به زوایای بزرگتر (در دایره مثلثاتی) تعمیم دهیم، بسته به علامت سینوس و کسینوس، تانژانت میتواند منفی هم بشود.
❓ اگر بدانیم $\tan A = 1$، در مورد زاویۀ A چه نتیجهای میتوان گرفت؟
✅ در یک مثلث قائمالزاویه، $\tan A = 1$ به این معناست که ضلع مقابل و ضلع مجاور زاویۀ A با هم برابر هستند. این حالت تنها زمانی رخ میدهد که مثلث، قائمالزاویه و متساویالساقین باشد و در نتیجه زاویۀ A برابر 45^\circ خواهد بود.
پاورقی
1سینوس (Sine): در مثلث قائمالزاویه، نسبت طول ضلع مقابل یک زاویۀ حاد به طول وتر.
2کسینوس (Cosine): در مثلث قائمالزاویه، نسبت طول ضلع مجاور یک زاویۀ حاد به طول وتر.