نسبتهای مثلثاتی: پلی میان زاویه و اضلاع
تعریف نسبتهای مثلثاتی در مثلث قائمالزاویه
نسبتهای مثلثاتی برای یک زاویۀ حاد (θ) در یک مثلث قائمالزاویه تعریف میشوند. اگر مثلثی قائمالزاویه با زاویۀ θ داشته باشیم، سه ضلع آن عبارتند از: مقابل (ضلع روبهرو به θ)، مجاور (ضلع چسبیده به θ) و وتر (بلندترین ضلع روبهروی زاویۀ قائمه). نسبتهای اصلی به صورت زیر تعریف میشوند:
- سینوس (Sinus) یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مقابل به وتر.
- کسینوس (Cosinus) یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مجاور به وتر.
- تانژانت (Tangente) یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور.
$ \sin \theta = \frac{\text{مقابل}}{\text{وتر}} $
$ \cos \theta = \frac{\text{مجاور}}{\text{وتر}} $
$ \tan \theta = \frac{\text{مقابل}}{\text{مجاور}} $
برای مثال، فرض کنید مثلث قائمالزاویهای داریم که طول ضلع مقابل زاویۀ 30° برابر 3 سانتیمتر و وتر آن 6 سانتیمتر باشد. آنگاه مقدار $\sin 30°$ برابر 0.5 خواهد بود.
نسبتهای معروف و مقادیر ویژه
برای برخی زوایای پرکاربرد مانند 30°، 45°، 60° و 90°، مقادیر نسبتهای مثلثاتی به صورت دقیق و ساده قابل بیان هستند. حفظ کردن این مقادیر در حل سریع مسائل بسیار مفید است. جدول زیر مقادیر سینوس، کسینوس و تانژانت را برای این زوایا نشان میدهد1.
| زاویه (θ) | $\sin \theta$ | $\cos \theta$ | $\tan \theta$ |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ |
| 45° | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | 1 |
| 60° | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| 90° | 1 | 0 | تعریفنشده |
کاربرد عملی: محاسبه ارتفاع با استفاده از تانژانت
فرض کنید میخواهیم ارتفاع یک ساختمان را بدون اندازهگیری مستقیم به دست آوریم. در فاصلۀ 50 متری ساختمان میایستیم و با وسیلهای زاویۀ بین خط افق و خطی که به بالای ساختمان میرود (زاویۀ ارتفاع) را اندازه میگیریم. اگر این زاویه برابر 30° باشد، ارتفاع ساختمان چقدر است؟ در اینجا فاصلۀ ما از ساختمان (ضلع مجاور) و زاویه را داریم و میخواهیم ارتفاع (ضلع مقابل) را بیابیم. از نسبت تانژانت استفاده میکنیم:
$ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{50} \implies h = \frac{50}{\sqrt{3}} \approx 28.87 \ \text{متر} $
همانطور که میبینید، با کمک یک نسبت مثلثاتی ساده توانستیم ارتفاعی غیرقابلدسترس را محاسبه کنیم.
چالشهای مفهومی
❓ چرا با افزایش زاویه از 0 به 90 درجه، سینوس افزایش اما کسینوس کاهش مییابد؟
در یک مثلث قائمالزاویه، با ثابت بودن وتر، هرچه زاویه بزرگتر شود، ضلع مقابل بلندتر و ضلع مجاور کوتاهتر میشود. از آنجا که سینوس نسبت مقابل/وتر و کسینوس نسبت مجاور/وتر است، این تغییرات مستقیم و معکوس منطقی به نظر میرسد.
❓ آیا نسبتهای مثلثاتی فقط برای زوایای حاد (کمتر از 90 درجه) کاربرد دارند؟
خیر. تعریف اولیه در مثلث قائمالزاویه برای زوایای بین 0 تا 90 درجه است. اما با استفاده از دایرهٔ واحد مثلثاتی (مثلثاتی دایرهای)2، میتوان این مفاهیم را به تمام زوایا (حتی بزرگتر از 90) تعمیم داد.
❓ چرا تانژانت 90 درجه تعریفنشده است؟
تانژانت برابر نسبت مقابل/مجاور است. در زاویۀ 90° در یک مثلث قائمالزاویه، ضلع مجاور به صفر میل میکند. تقسیم یک عدد ثابت بر صفر در ریاضیات تعریفنشده است و به سمت بینهایت میل میکند.
پاورقی
1نسبتهای مثلثاتی (Trigonometric Ratios): روابطی بین اندازه زاویهها و طول ضلعهای یک مثلث قائمالزاویه. این نسبتها در ریاضیات یونان باستان ریشه دارند و واژههایی مانند سینوس (Sinus) به معنای «شکنج» یا «خمیدگی» هستند که در ترجمه آثار ریاضی به عربی و سپس لاتین راه یافتهاند.
2دایره واحد مثلثاتی (Unit Circle): دایرهای به شعاع 1 که مرکز آن در مبدأ مختصات قرار دارد. از این دایره برای تعمیم نسبتهای مثلثاتی به همه زوایا استفاده میشود. برای یک زاویه دلخواه، مختصات نقطۀ برخورد ضلع نهایی زاویه با دایره، برابر (کسینوس آن زاویه، سینوس آن زاویه) است.