جمله دوم دنباله : دومین عدد دنباله که با t₂ نمایش داده میشود
? مفهوم t₂ برای دانشآموزان تازهکار: خانهٔ دوم صف
یک دنباله مثل صف ناهار مدرسه میماند. نفر اول t₁ است، نفر دوم t₂ است و نفر سوم t₃. جملهٔ دوم دقیقاً دومین عددی است که در آن دنباله میآید. اگر دنبالهی «اعداد زوج» را بنویسیم: ۲, ۴, ۶, ۸, … آنگاه t₁ = ۲ و t₂ = ۴ است. به همین سادگی! مهم است بدانیم t₂ همیشه روی پلهٔ دوم آن نردبان عددی ایستاده است.
? رمزگشایی t₂ در دنبالهٔ حسابی (راهنمای گامبهگام)
در دنبالهٔ حسابی فاصلهٔ میان هر دو جملهٔ متوالی ثابت است. به این فاصله میگوییم «قدر نسبت» یا «تفاضل مشترک» و با نماد d نشان میدهیم[۲]. فرمول جادویی این دنبالهها این است:
$t_n = t_1 + (n-1)d$اگر n=۲ بگذاریم، به فرمول اختصاصی جملهٔ دوم میرسیم:
? مثال عینی (پایهٔ هفتم):
فرض کن علی هر هفته ۵۰۰۰ تومان به قلکش اضافه میکند. اگر هفتهٔ اول ۳۰۰۰ تومان داشته باشد، پس:
t₁ = ۳۰۰۰ ،
d = ۵۰۰۰
t₂ = t₁ + d = ۳۰۰۰ + ۵۰۰۰ = ۸۰۰۰
یعنی دومین هفته قلک علی ۸۰۰۰ تومان دارد. جملهٔ دوم این دنباله به ما میگوید که علی بعد از یک هفته چقدر پول جمع کرده است.
? دنبالهٔ هندسی و نقش t₂ در کشف نسبت طلایی
در دنبالهٔ هندسی، هر جمله از ضرب جملهٔ قبل در یک عدد ثابت (قدرنسبت r) به دست میآید. فرمول عمومی آن:
$t_n = t_1 \times r^{\,n-1}$برای جملهٔ دوم:
? مثال از دنیای زیبا: در ریاضیات، دنبالهٔ فیبوناچی را همه دوست دارند. اما بیایید یک دنبالهٔ هندسی ساده بسازیم: باکتری هر ساعت ۲ برابر میشود. اگر تعداد اولیه ۱۰۰ تا باشد:
t₁ = ۱۰۰ , r = ۲
t₂ = ۱۰۰ × ۲ = ۲۰۰
عدد ۲۰۰ که همان t₂ است، نشان میدهد جمعیت باکتری پس از یک ساعت چقدر شده است. پس t₂ تصویری از رشد اولیه را نمایش میدهد.
? جدول مقایسهٔ رفتار t₂ در انواع دنبالهها
| نوع دنباله | قانون تولید | فرمول t₂ | مثال عددی | مقدار t₂ |
|---|---|---|---|---|
| حسابی | tn = t₁+(n-1)d | t₁ + d | ۵, ۱۱, ۱۷, ... | ۱۱ |
| هندسی | tn = t₁ × rn-1 | t₁ × r | ۴, ۱۲, ۳۶, ... | ۱۲ |
| مرکّب (درجه دو) | tn = an²+bn+c | ۴a+۲b+c | ۲, ۶, ۱۲, ۲۰ | ۶ |
? کاربرد عملی: وقتی t₂ کلید حل معما میشود
در بسیاری از سوالات ریاضی، ما فقط t₁ و t₂ را میدانیم و باید بقیهٔ جملهها را پیدا کنیم. t₂ در اینجا مثل یک راهنما عمل میکند.
? مثال المپیادی (پایهٔ نهم): در یک دنبالهٔ حسابی، t₅ = ۲۲ و t₈ = ۳۴ است. مقدار t₂ را بیابید.
گام ۱: میدانیم t₈ − t₅ = ۳d ⇒ ۳۴ − ۲۲ = ۱۲ = ۳d ⇒ d = ۴
گام ۲: t₅ = t₁ + ۴d ⇒ ۲۲ = t₁ + ۱۶ ⇒ t₁ = ۶
گام ۳: t₂ = t₁ + d = ۶ + ۴ = ۱۰. پس جملهٔ دوم این دنباله ۱۰ است. دقت کنید چگونه با اختلاف دو جملهٔ غیرمتوالی به d و سپس به t₂ رسیدیم.
⚠️ اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
❓ سؤال ۱: آیا t₂ همیشه میانگین t₁ و t₃ است؟
پاسخ: فقط در دنبالهٔ حسابی! در این دنباله داریم t₂ = (t₁ + t₃) ÷ ۲. ولی در دنبالهٔ هندسی، t₂ میانگین هندسی است: t₂ = √(t₁ × t₃). پس این قانون را برای همهٔ دنبالهها به کار نبرید.
❓ سؤال ۲: اگر جملهٔ اول را نداشته باشیم، میشود t₂ را حساب کرد؟
پاسخ: بله، به شرطی که نوع دنباله و یک جملهٔ دیگر را بدانیم. مثلاً در دنبالهٔ حسابی اگر t₅ و d داده شده باشد، ابتدا t₁ و سپس t₂ را مییابیم. در دنبالهٔ هندسی نیز با دانستن r و یک جملهٔ دیگر میتوان t₂ را پیدا کرد.
❓ سؤال ۳: اشتباه رایج دانشآموزان در محاسبهٔ t₂ چیست؟
پاسخ: بسیاری تصور میکنند t₂ همیشه دو برابر t₁ است. این فقط در دنبالهٔ هندسی با r=۲ درست است. در یک دنبالهٔ حسابی با d=۵، اگر t₁=۳ باشد، t₂=۸ خواهد بود که دو برابر ۳ نیست. پس همیشه به قانون تشکیل دنباله دقت کنید.
? جمعبندی: چرا t₂ مهم است؟
- پایهایترین گام: t₂ دومین گام برای کشف الگوی دنباله است.
- تشخیص دهندهٔ نوع دنباله: با مقایسهٔ t₁ و t₂ میفهمیم دنباله حسابی است یا هندسی یا هیچکدام.
- عنصر کلیدی در فرمولها: بسیاری از فرمولهای بازگشتی بر اساس رابطهٔ t₂ و t₁ نوشته میشوند.
- پلی به سوی بینهایت: از روی t₂ و قانون حاکم، میتوان تمام دنباله را ساخت و حتی جملهٔ صدم را هم محاسبه کرد.
? پاورقیها
[۱] دنباله (Sequence): به مجموعهای از اعداد که به ترتیب منظمی قرار گرفتهاند، دنباله گویند. هر عضو دنباله را یک جمله (Term) مینامند.
[۲] قدر نسبت یا تفاضل مشترک (Common Difference): عدد ثابتی که در دنباله حسابی به هر جمله اضافه میشود تا جملهٔ بعدی بهدست آید.
[۳] قدرنسبت (Common Ratio): عدد ثابتی که در دنباله هندسی هر جمله در آن ضرب میشود تا جملهٔ بعدی حاصل شود.
[۴] اندیس (Index): شمارهٔ هر جمله در دنباله که معمولاً با n نمایش داده میشود.
