جملات دنباله: اعداد تشکیلدهنده دنباله که به ترتیب نوشته میشوند
? تعریف جمله و اندیس: مثل صندلیهای یک ردیف
به هر جایگاه خالی در یک دنباله، یک «اندیس» میگوییم. عددی که در آن جایگاه مینشیند، «جمله» نام دارد. مثلاً فرض کن در یک سالن سینما، ردیف اول 10 صندلی دارد که به ترتیب شمارهگذاری شدهاند. اگر بلیطها به ترتیب 5, 8, 11, 14, … فروخته شوند، خود این اعداد همان «جملات» هستند. به این ترتیب جملهٔ اول 5، جملهٔ دوم 8 و الی آخر.
جملهٔ عمومی را با نماد $a_n$ نشان میدهند که $n$ اندیس (شمارهٔ جمله) است. برای نمونه $a_1$ یعنی جملهٔ اول. این حرف a برگرفته از واژهٔ «حد»[1] است که در ریاضیات کاربرد فراوان دارد.
➕ دنبالهٔ حسابی: پلهپله تا بینهایت
در دنبالهٔ حسابی، فاصلهٔ هر دو جملهٔ پیاپی همیشه مقدار ثابتی است. به این مقدار ثابت «قدرنسبت حسابی»[2] یا اختلاف مشترک میگویند و با $d$ نمایش میدهند.
مثال: فرض کن هر روز 3 صفحه کتاب داستان میخوانی. اگر روز اول 10 صفحه خوانده باشی، روز دوم 13، روز سوم 16 و … . پس $d = 3$ و $a_1 = 10$.
فرمول جملهٔ عمومی (حسابی): $a_n = a_1 + (n - 1) \times d$
| اندیس (n) | فرمول $a_n = 10 + (n-1) \times 3$ | مقدار جمله | برچسب |
|---|---|---|---|
| 1 | $10 + 0 \times 3$ | 10 | شروع |
| 2 | $10 + 1 \times 3$ | 13 | قدم اول |
| 3 | $10 + 2 \times 3$ | 16 | ادامه |
| 10 | $10 + 9 \times 3$ | 37 | دوربرد |
✖️ دنبالهٔ هندسی: تکثیر شگفتانگیز
در این نوع دنباله، هر جمله از ضرب جملهٔ قبل در یک عدد ثابت (قدرنسبت هندسی[3]) به دست میآید. این قدرنسبت را با $r$ نمایش میدهیم. افسانهٔ شطرنج و دانههای گندم یک مثال قدیمی است: خانهٔ اول 1 دانه، خانهٔ دوم 2، سوم 4، چهارم 8 و … .
فرمول جملهٔ عمومی (هندسی): $a_n = a_1 \times r^{\,n-1}$
| اندیس (n) | فرمول $a_n = 1 \times 2^{n-1}$ | مقدار جمله |
|---|---|---|
| 1 | $2^{0}$ | 1 |
| 2 | $2^{1}$ | 2 |
| 3 | $2^{2}$ | 4 |
| 5 | $2^{4}$ | 16 |
? مثال عینی: پسانداز هفتگی با دو الگو
دو دانشآموز، سارا و حسام، تصمیم میگیرند هر هفته مقداری پول پسانداز کنند. سارا هر هفته 5000 تومان بیشتر از هفتهٔ قبل پسانداز میکند. او از 10000 تومان شروع میکند. حسام اما هر هفته پساندازش را 2 برابر میکند و از 2000 تومان آغاز میکند. بیایید جملات (پسانداز هفتهٔ هفتم) را برای هر دو حساب کنیم.
- سارا (حسابی):$a_7 = 10000 + (7-1) \times 5000 = 10000 + 30000 = 40000$ تومان.
- حسام (هندسی):$a_7 = 2000 \times 2^{6} = 2000 \times 64 = 128000$ تومان.
میبینیم که در بلندمدت، الگوی هندسی بسیار سریعتر رشد میکند. این تفاوتِ جملههای دنباله در زندگی واقعی (مثل سود بانکی یا رشد جمعیت) اهمیت زیادی دارد.
⚠️ اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
بله، در بیشتر کتابهای درسی اندیسها از 1 شروع میشوند، اما در برنامهنویسی و بعضی رشتهها ممکن است اندیس از 0 آغاز شود. برای جلوگیری از اشتباه، همیشه صورت مسئله را ببین.
سه نقطه نشانهٔ این است که دنباله ادامه دارد و ما همهٔ جملات را ننوشتهایم. مثلاً $2, 4, 6, 8, …$ یعنی اعداد زوج پشت سر هم تا بینهایت.
بسیاری از دانشآموزان دنبالهٔ $2, 4, 6, 8$ را هم حسابی میبینند هم هندسی! درست است که حسابی با قدرنسبت $d=2$ است اما هندسی نیست چون $4 \div 2 = 2$ ولی $6 \div 4 = 1.5$ و قدرنسبت ثابت نیست.
? دنبالهٔ مربعی و توانی (پایهٔ بالاتر)
برای دانشآموزان دبیرستانی، دنبالههایی با جملهٔ عمومی $a_n = n^2$ (مربعات) یا $a_n = 2^n + 1$ بسیار مهم میشوند. اینها نه حسابیاند و نه هندسی، اما باز هم «جملات دنباله» همان اعدادی هستند که به ترتیب اندیس ظاهر میشوند.
مثال: دنبالهٔ مربعات کامل: $1, 4, 9, 16, 25, …$ . جملهٔ دهم میشود $a_{10} = 10^2 = 100$.
? پاورقیها
[1] معادل انگلیسی: Term – به معنای حد یا جمله در دنباله.
[2] معادل انگلیسی: Common difference – همان اختلاف مشترک که با d نشان داده میشود.
[3] معادل انگلیسی: Common ratio – همان نسبت مشترک یا قدرنسبت هندسی.
[4] معادل انگلیسی: Index – اندیس یا شمارهٔ هر جمله.
