دنباله: آرایش چند عدد که پشت سر هم قرار میگیرند
? ۱. از صف نانوایی تا الگوی اعداد
تصور کن در صف نانوایی ایستادهای. نفر اول 1 قرص نان میخرد، نفر دوم 2 قرص، نفر سوم 3 قرص و به همین ترتیب. اینجا هر عدد، خانهای از یک «دنباله» است: آرایشی از اعداد که پشت سر هم و طبق یک قانون مشخص میآیند. در ریاضیات به تکتک این اعداد جملات دنباله میگویند. به جای نوشتن همۀ اعداد تا بینهایت، از یک حرف با اندیس (مانند $a_n$) استفاده میکنیم. ? مثال اول: دنبالۀ اعداد زوج 2,4,6,8,... را در نظر بگیر. اگر بپرسی «جملهٔ چندم چند است؟» میگویی جملهٔ nام برابر $a_n = 2n$ است. همین «قانون» باعث میشود هزارمین جمله را هم بدون نوشتن همهی مراحل قبلی پیدا کنی.
? ۲. دو قبیلهٔ مشهور: حسابی و هندسی
در میان همهی دنبالهها، دو خانواده خیلی پرکاربردند: دنبالهٔ حسابی[1] و دنبالهٔ هندسی[2]. در نوع حسابی، فاصلهٔ هر جمله تا جملهٔ بعد همیشه یک مقدار ثابت است (مثلاً 3,7,11,15,... که هر بار 4 واحد اضافه میشود). در نوع هندسی، نسبت هر جمله به جملهٔ قبل ثابت میماند (مثلاً 2,6,18,54,... که هر بار در 3 ضرب میشود).
| ویژگی | دنبالۀ حسابی (Arithmetic) | دنبالۀ هندسی (Geometric) |
|---|---|---|
| قانون تغییر | افزایش/کاهش ثابت (تفاضل) | ضرب شدن در عدد ثابت (نسبت) |
| فرمول جملهٔ عمومی | $a_n = a_1 + (n-1)d$ | $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ |
| مثال عددی | 5,8,11,14,... | 3,12,48,192,... |
| کاربرد در زندگی | شمارش پلهها، پسانداز ماهانه | تکثیر ویروس، سود مرکب بانک |
? ۳. از بازی با کبریت تا فرمول نویسی (جملهی عمومی)
? بازی فکری: شکلهای زیر را با چوبکبریت درست میکنیم: یک مربع 4 چوب، دو مربع کنار هم 7 چوب، سه مربع 10 چوب. چند چوب برای 10 مربع لازم است؟ این یک دنبالۀ حسابی با تفاضل 3 و جملهٔ اول 4 است: $a_{10} = 4 + (10-1)\times 3 = 31$ چوبکبریت. میبینی؟ با یک فرمول کوتاه، از 10 جمله جلو زدیم!
? ۴. کاربرد عملی: پیشبینی قیمت و رشد جمعیت
فرض کن قیمت یک خودروی دستدوم هر سال 5 میلیون تومان افت میکند. اگر امروز 300 میلیون تومان باشد، قیمت آن 6 سال بعد چقدر میشود؟ این یک دنبالۀ حسابی با d=-5 است. جواب: $a_7 = 300 + (7-1)\times(-5) = 270$ میلیون تومان. در مقابل، اگر جمعیت باکتری هر 20 دقیقه دو برابر شود (r=2) و اکنون 100 عدد باشد، بعد از 2 ساعت (6 دورۀ 20 دقیقه) جمعیت برابر است با: $a_7 = 100 \times 2^{6} = 6400$ عدد باکتری! این قدرت پیشبینی در زیستشناسی و اقتصاد است.
❓ ۵. اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
❌ ۱. آیا همیشه فرق بین جملات، همان اختلاف مشترک است؟
نه! گاهی دنباله حسابی نیست. مثلاً 1,4,9,16,... هر بار 3,5,7 واحد اضافه میشود که ثابت نیست. این یک دنبالۀ «غیرحسابی» و از جملات مربع کامل است ($a_n=n^2$).
❌ ۲. آیا در دنبالۀ هندسی حتماً جملات بزرگ میشوند؟
خیر، اگر نسبت (r) بین صفر و یک باشد (مثل 0.5) جملات کوچک میشوند: 100,50,25,12.5,.... به این دنباله، «هندسی کاهنده» میگویند.
❌ ۳. منظور از «دنباله در دنباله» چیست؟
گاهی خود جملات، شمارهٔ جملهٔ دنبالۀ دیگری هستند. مثال: در دنبالۀ 2,4,6,8,... اگر جملههای زوج را برداریم (2,6,10,...) یک دنبالۀ حسابی جدید ساختهایم. این مفهوم در ریاضیات عالی به «زیردنباله» معروف است.
? ۶. میانگین، قدرمطلق و میانگین هندسی
اگر سه جملهٔ متوالی از یک دنبالۀ حسابی داشته باشیم ($a,b,c$)، آنگاه $b = \frac{a+c}{2}$ یعنی میانگین حسابی دو طرف. برای دنبالۀ هندسی سهجملهای داریم $b = \sqrt{a \cdot c}$ (میانگین هندسی). این رابطه در رسم نمودار و حل معادلات دنباله خیلی کمک میکند.
? پاورقیها
[1]دنبالهٔ حسابی (Arithmetic sequence) : دنبالهای که در آن تفاضل هر جمله با جملهٔ پیشین مقداری ثابت (d) است. مانند 2,5,8,11,...
[2]دنبالهٔ هندسی (Geometric sequence) : دنبالهای که نسبت هر جمله به جملهٔ پیشین مقداری ثابت (r) است. مانند 2,6,18,54,...
[3]جملهٔ عمومی (General term) : فرمولی که بر حسب n نوشته میشود و مقدار هر جمله را مستقیماً محاسبه میکند.
[4]اندیس (Index) : شمارۀ هر جمله که معمولاً با n نمایش میدهیم.
