شماره شکل : عدد n که مرحله یا جایگاه یک شکل را در الگو نشان میدهد
الگو چیست؟ ماجرای n از پایهٔ اوّل
فرض کن یک ردیف از آدمکهای چوبی داری. آدمکِ اوّل 1 کلاه دارد، آدمکِ دوم 2 کلاه، آدمکِ سوّم 3 کلاه. اگر بپرسی: «آدمکِ چندم 7 تا کلاه دارد؟» بیدرنگ میگویی: آدمکِ هفتم. اینجا «شمارهٔ شکل» یعنی همان n=7. خیلی ساده است: هر شکل یک شماره دارد؛ شمارهاش n است. در ریاضیات به این شماره، «مرحله»، «جایگاه» یا «عبارت nاُم» میگوییم[1]. هرچه n بزرگتر شود، شکل بزرگتر یا پیچیدهتر میشود؛ امّا همیشه میشود قانونش را پیدا کرد.
شمارهٔ شکل چگونه اجزای یک الگو را پیشبینی میکند؟
الگوها مثل قطار هستند؛ هر واگن یک شماره دارد و تعداد پنجرههایش از روی شمارهٔ واگن معلوم است. الگوی زیر را ببین:
مرحلهٔ ۱: ▲
مرحلهٔ ۲: ▲ ▲
مرحلهٔ ۳: ▲ ▲ ▲
حتماً مرحلهٔ ۴ میشود: ▲ ▲ ▲ ▲
تعداد مثلثها = n. حالا اگر n=100 باشد، یعنی 100 مثلث داریم.
گاهی الگوها از جمع استفاده میکنند. مثالِ مشهور: چوبکبریتها. یک مربع 4 چوبکبریت دارد، دو مربعِ کنار هم 7 چوبکبریت، سه مربع 10 چوبکبریت. عدد n نشان میدهد چند مربع داریم. قانون: 3n + 1. یعنی اگر n=5 باشد، تعداد چوبکبریتها میشود 3×5+1=16. ببین چطور n جادو میکند!
| شماره شکل (n) | تعداد مربعها | تعداد چوبکبریتها | رابطه با n |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 4 | 3×1+1 |
| 2 | 2 | 7 | 3×2+1 |
| 3 | 3 | 10 | 3×3+1 |
| 5 | 5 | 16 | 3×5+1 |
الگوهای مربعی یا مثلثی نیز به همین ترتیب از n تبعیت میکنند. مثلاً در الگوی عددهای مربع (مربعهای نقطهچین): شکل شمارهٔ 1 یک نقطه، شمارهٔ 2 چهار نقطه، شمارهٔ 3 نه نقطه. اینجا n² نقطه داریم. پس n فقط یک برچسب نیست، خودش در فرمول ظاهر میشود.
از n تا nاُم: کاربرد در زندگی روزمره و المپیاد
تصور کن در یک مسابقهٔ معمّا، شکلها با خانههای رنگی داده شدهاند. زینب کلاس پنجمی متوجّه شد که خانههای آبی در هر شکل با فرمول 2n و خانههای زرد با فرمول n+1 افزایش مییابد. او بدون رسم شکل شمارهٔ 20، تعداد آبیها را 40 و تعداد زردها را 21 حساب کرد. این یعنی n تبدیل شده به یک ابزار قدرتمند برای پیشگویی.
در دبیرستان، n وارد مفاهیم عمیقتری مثل دنبالهٔ حسابی و دنبالهٔ هندسی میشود. جملهٔ عمومی یک دنبالهی حسابی به این شکل است:
$a_n = a_1 + (n-1)d$که d همان مقدار ثابت افزایش بین دو مرحله است. اگر الگویی از مستطیلهای تودرتو داشته باشیم، محیط یا مساحت آنها اغلب با n رابطهٔ درجه دو پیدا میکند.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: در بیشتر کتابهای درسی، بله؛ امّا گاهی الگو از مرحلهٔ صفر شروع میشود (مثل شکل صفرم). مهم این است که بدانیم n چه مقداری در اولین شکل دارد و فرمول را بر اساس آن بنویسیم. اگر شکل اول n=0 باشد، قانون ممکن است 3n+1 نباشد، بلکه 3n+4 و امثال آن شود.
پاسخ: بله. خیلی از الگوها مانند اعداد مثلثی (۱، ۳، ۶، ۱۰، ...) افزایش ثابت ندارند؛ ولی باز هم با n میشود جملهٔ عمومی نوشت: $\frac{n(n+1)}{2}$. n همیشه کار میکند، فقط گاهی فرمول پیچیدهتر میشود.
پاسخ: برخی الگوها از مرحلهٔ دوم یا سوم قاعدهمند میشوند. در این حالت، معمولاً n را برای مراحل اصلی تعریف میکنیم و شرط میگذاریم. مثلاً در الگوی فیبوناچی، دو جملهٔ اول داده میشود و بقیه با nهای بزرگتر تعریف میشوند.
کلاسبندی الگوها از نگاه n (از مقدماتی تا پیشرفته)
برای درک بهتر، الگوها را بر اساس رابطهشان با n دستهبندی میکنیم:
| دستهبندی | مثال مشهور | فرمول برحسب n | سطح دشواری |
|---|---|---|---|
| خطی (افزایش ثابت) | چوبکبریت مربعها | 3n+1 | ابتدایی |
| درجه دو (مربعی) | عددهای مربع | n² | ابتدایی |
| مثلثی (جمع اعداد) | اعداد مثلثی | $\frac{n(n+1)}{2}$ | متوسّط |
| هندسی (ضربی) | تکثیر سلولی | $2^{n-1}$ | پیشرفته |
پاورقی
[2]دنبالهٔ حسابی (Arithmetic sequence): دنبالهای که اختلاف دو جملهٔ متوالی آن مقدار ثابت d است.
[3]دنبالهٔ هندسی (Geometric sequence): دنبالهای که نسبت دو جملهٔ متوالی آن مقدار ثابت q است.
[4]اعداد مثلثی (Triangular numbers): اعدادی که میتوانند به شکل یک مثلث متساویالاضلاع نقطهچین مرتب شوند.
