اجتماع دو مجموعه: عناصری که دستکم در یکی از دو مجموعه قرار دارند
۱. تعریف و نمادگذاری اجتماع
اجتماع دو مجموعه $A$ و $B$ که با نماد $A \cup B$ نمایش داده میشود، مجموعهای است از همه عناصری که حداقل در یکی از دو مجموعه $A$ یا $B$ عضو باشند. به زبان ساده، اگر عضوی در $A$ باشد، در $B$ باشد، یا در هر دو باشد، آن عضو به اجتماع اضافه میشود. نکته مهم این است که عناصر تکراری در اجتماع فقط یک بار نوشته میشوند. به عنوان مثال:
- اگر $A = \{1, 2, 3\}$ و $B = \{3, 4, 5\}$، آنگاه $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
- اگر $C = \{الف, ب\}$ و $D = \{ب, پ\}$، آنگاه $C \cup D = \{الف, ب, پ\}$.
یک مثال عملی: فرض کنید در یک کلاس، گروه ورزشی $A$ شامل علی، سارا، رضا و گروه هنری $B$ شامل سارا، مریم، امیر باشند. اجتماع این دو گروه، لیست تمام افرادی است که در حداقل یکی از این گروهها عضویت دارند: علی، سارا، رضا، مریم، امیر. توجه کنید که نام «سارا» که در هر دو گروه مشترک است، فقط یک بار در لیست نهایی نوشته شده است.
۲. نمایش اجتماع با نمودار ون
نمودار ون3 ابزاری دیداری و بسیار مفید برای درک روابط بین مجموعهها است. در این نمودارها، هر مجموعه با یک دایره (یا شکل بسته دیگر) نمایش داده میشود و فضای داخل دایره نمایانگر اعضای آن مجموعه است. اجتماع دو مجموعه $A$ و $B$ برابر است با تمام نقاطی که درون دایره $A$، دایره $B$ یا هر دو قرار دارند. یعنی مجموع مساحت هر دو دایره (با احتساب ناحیه اشتراک که دوبار شمرده میشود). ناحیه اشتراک ($A \cap B$) نشاندهنده عناصری است که در هر دو مجموعه حضور دارند.
| ناحیه در نمودار ون | نماد ریاضی | تعداد عناصر |
|---|---|---|
| فقط $A$ (بدون اشتراک) | $A - B$ یا $A \cap B'$ | $n(A) - n(A \cap B)$ |
| اشتراک $A$ و $B$ | $A \cap B$ | $n(A \cap B)$ |
| فقط $B$ (بدون اشتراک) | $B - A$ یا $B \cap A'$ | $n(B) - n(A \cap B)$ |
| اجتماع $A$ و $B$ | $A \cup B$ | $n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ |
۳. فرمول اصل جمع و کاربرد آن در محاسبه اجتماع
یکی از مهمترین فرمولها در مبحث مجموعهها، رابطهای است که تعداد اعضای اجتماع دو مجموعه را به تعداد اعضای هر یک و اشتراکشان مرتبط میکند. همانطور که در نمودار ون میبینیم، اگر بخواهیم تعداد کل اعضای اجتماع را با جمع ساده $n(A)$ و $n(B)$ حساب کنیم، اعضای ناحیه اشتراک دو بار شمرده میشوند. برای رفع این مشکل، یک بار آنها را کم میکنیم:
$ n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) $
مثال کاربردی: در یک نظرسنجی از ۵۰ دانشآموز، ۳۰ نفر فوتبال و ۲۵ نفر والیبال را دوست دارند. اگر ۱۰ نفر هر دو ورزش را دوست داشته باشند، تعداد افرادی که حداقل یکی از این دو ورزش را دوست دارند چند نفر است؟
حل: با استفاده از فرمول داریم:
$ n(F \cup V) = n(F) + n(V) - n(F \cap V) = 30 + 25 - 10 = 45 $
بنابراین ۴۵ نفر حداقل یکی از این دو ورزش را دوست دارند. همچنین میتوانیم تعداد افرادی را که هیچکدام از این دو ورزش را دوست ندارند نیز بهدست آوریم: ۵۰ - ۴۵ = ۵ نفر.
۴. مثال عینی: برنامهریزی برای سفر کلاسی
برای درک بهتر کاربرد اجتماع، یک مسئله عمیقتر را بررسی میکنیم. قرار است یک اردوی علمی برای دانشآموزان پایه دهم برگزار شود. هر دانشآموز میتواند در یکی از دو کارگاه «نجوم» یا «شیمی» یا هر دو شرکت کند. از بین ۱۲۰ دانشآموز، ۶۰ نفر کارگاه نجوم و ۷۰ نفر کارگاه شیمی را انتخاب کردهاند. همچنین میدانیم ۲۰ نفر هیچکدام از این دو کارگاه را انتخاب نکردهاند. مسئله این است که تعداد دانشآموزانی که هر دو کارگاه را انتخاب کردهاند، چقدر است؟
گام اول: تعداد افرادی که حداقل یکی از دو کارگاه را انتخاب کردهاند (اجتماع) برابر است با کل دانشآموزان منهای افرادی که هیچکدام را انتخاب نکردهاند: $ n(A \cup B) = 120 - 20 = 100 $.
گام دوم: حالا فرمول اجتماع را مینویسیم و عدد مجهول را پیدا میکنیم:
$ n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) $
$ 100 = 60 + 70 - n(A \cap B) $
$ n(A \cap B) = 130 - 100 = 30 $
بنابراین ۳۰ دانشآموز هر دو کارگاه را انتخاب کردهاند. این مثال نشان میدهد که چگونه با دانستن اجتماع و اعضای هر مجموعه میتوانیم به اطلاعات پنهان (اشتراک) دست پیدا کنیم.
۵. چالشهای مفهومی
❓ چالش ۱: اگر دو مجموعه $A$ و $B$ هیچ عضو مشترکی نداشته باشند (اشتراکشان تهی باشد)، آنگاه تعداد اعضای اجتماع چگونه محاسبه میشود؟
✅ پاسخ: در این حالت میگوییم دو مجموعه مجزا هستند. از آنجا که $ n(A \cap B) = 0 $ است، فرمول اجتماع به سادهترین شکل خود تبدیل میشود: $ n(A \cup B) = n(A) + n(B) $. به عنوان مثال، مجموعه اعداد زوج و مجموعه اعداد فرد در بازه $ \{1,2,3,4,5\} $ مجزا هستند و اجتماع آنها همه اعداد این بازه خواهد بود.
❓ چالش ۲: آیا همیشه تعداد اعضای اجتماع از تعداد اعضای هر یک از مجموعهها بزرگتر است؟ مثال نقض بزنید.
✅ پاسخ: خیر. اگر یکی از مجموعهها زیرمجموعه دیگری باشد، اجتماع برابر با مجموعه بزرگتر است. برای مثال، اگر $A = \{1, 2\}$ و $B = \{1, 2, 3\}$ باشد، آنگاه $A \cup B = \{1, 2, 3\} = B$ است. در اینجا $n(A \cup B) = 3$ با $n(B) = 3$ برابر است و از $n(A) = 2$ بزرگتر است، اما این قاعده کلی نیست. همیشه داریم: $ n(A \cup B) \ge \max(n(A), n(B)) $.
❓ چالش ۳: اگر سه مجموعه $A, B, C$ داشته باشیم، فرمول تعداد اعضای اجتماع آنها $n(A \cup B \cup C)$ به چه صورتی است؟
✅ پاسخ: این فرمول کمی پیچیدهتر است و به اصل شمول و عدم شمول معروف است. برای جلوگیری از شمارش مضاعف، ابتدا مجموع اعضای هر سه مجموعه را جمع میکنیم، سپس اشتراک دوتاییها را کم میکنیم و دوباره اشتراک هر سه مجموعه را اضافه میکنیم (چون در مرحله کم کردن اشتراکهای دوتایی، سه بار حذف شده است):
$ n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C) $
? جمعبندی: اجتماع دو مجموعه، یکی از عملیات بنیادی در نظریه مجموعههاست که تمام اعضای دو مجموعه را بدون تکرار در خود جای میدهد. درک این مفهوم برای حل مسائل شمارش، آمار و احتمال و حتی برنامهنویسی ضروری است. با کمک فرمول $ n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) $ میتوانیم به راحتی تعداد اعضای اجتماع را محاسبه کرده و رابطه بین مجموعهها را کشف کنیم. نمایش این مفهوم با نمودار ون نیز درک عمیقتری از روابط بین مجموعهها به ما میدهد.
پاورقی
1 مجموعه (Set): یک گروه یا دسته از اشیاء مشخص و مجزا که به عنوان یک شیء واحد در نظر گرفته میشود.
2 اصل جمع (Addition Principle): اصلی در شمارش که میگوید اگر راه انجام کار اول $m$ راه و کار دوم $n$ راه باشد و کارها نتوانند همزمان انجام شوند، مجموع راهها $m+n$ است. در مجموعهها، برای مجموعههای مجزا، تعداد اعضای اجتماع برابر جمع اعضای هر یک است.
3 نمودار ون (Venn Diagram): نمایشی هندسی از مجموعهها به صورت نواحی همپوشان که برای نشان دادن روابط منطقی بین آنها به کار میرود.
