جمله الگو : عدد متناظر با هر مرحله از الگو که مقدار آن با نمادهایی مثل a₁ و a₂ بیان میشود
۱. جمله الگو چیست؟ (زبان ریاضیِ تکرار)
فرض کنید دارید خانهسازی میکنید. مرحلهٔ اول 1 خانه، مرحلهٔ دوم 3 خانه، مرحلهٔ سوم 5 خانه و مرحلهٔ چهارم 7 خانه. اگر این کار ادامه پیدا کند، مرحلهٔ صدم چند خانه دارد؟ ریاضیدانها برای راحتی، به هر مرحله یک برچسب میزنند: به مرحلهٔ اول میگویند a₁ (ایِ وان)، به مرحلهٔ دوم a₂، به مرحلهٔ سوم a₃ و الی آخر. به این حرفها «جملهٔ الگو» میگوییم و عددی که نشان میدهند «مقدار جمله» است.
در مثال خانهها:
a₁ = 1
a₂ = 3
a₃ = 5
a₄ = 7
به a₁ «جملهٔ اول»، a₂ «جملهٔ دوم» و به طور کلی aₙ «جملهٔ nام» میگویند. این روش نوشتن مثل یک قرارداد جهانی است تا همه بفهمند دربارهٔ کدام مرحله حرف میزنیم.
۲. عدد متناظر: پلی بین «شماره مرحله» و «مقدار جمله»
آیا بین 1,3,5,7,… و شمارههای 1,2,3,4,… یک قانون مخفی وجود دارد؟ بله! اگر شمارهٔ مرحله را n بنامیم، مقدار خانهها برابر است با:
$a_n = 2n - 1$.
به این رابطه «فرمول جمله عمومی» میگویند. عدد متناظر با هر مرحله یعنی همان مقداری که برای aₙ به دست میآید. حالا اگر مقدار جمله داده شود و بپرسند متعلق به کدام مرحله است، باید معادله حل کنیم. مثلاً aₙ = 101 → 2n – 1 = 101 → n = 51. پس خانهٔ 101اُم در مرحلهٔ 51 ساخته شده است.
| الگو (توضیح) | چند جملهٔ اول (a₁, a₂, a₃) | فرمول aₙ (جملهٔ nام) | مثال: عدد متناظر با مرحلهٔ ۱۰ |
|---|---|---|---|
| تعداد چوبکبریتها برای مثلثهای تودرتو | 3, 5, 7 | $a_n = 2n + 1$ | $a_{10}=21$ |
| تعداد مربعهای شطرنجی n×n | 1, 4, 9 | $a_n = n^2$ | $a_{10}=100$ |
| پسانداز هفتگی (هفتهٔ اول ۱۰۰۰ تومان، هر هفته ۵۰۰ تومان اضافه) | 1000, 1500, 2000 | $a_n = 500n + 500$ | $a_{10}=5500$ |
۳. کاربرد در دنیای واقعی: طراحی پلکان و چیدمان صندلیها
یک داستان واقعی: معلم هنر از دانشآموزان خواست با چیدن قوطیهای نوشابه یک هرم بسازند. لایهٔ اول 10 قوطی، لایهٔ دوم 9 قوطی، لایهٔ سوم 8 قوطی و همین طور تا لایهٔ آخر. او پرسید: «اگر لایهٔ آخر فقط یک قوطی باشد، چند لایه داریم؟»
اینجا a₁ = 10, a₂ = 9, a₃ = 8 و ... الگو هر بار 1 واحد کم میشود. فرمول جمله عمومی: $a_n = 10 - (n-1) = 11 - n$. میخواهیم aₙ = 1 → 11 – n = 1 → n = 10. بنابراین هرم ۱۰ لایه دارد. به همین راحتی، با زبان aₙ مسئلهای که به نظر سخت میآید حل میشود.
در طراحی سالن اجتماعات: اگر ردیف اول ۲۰ صندلی و هر ردیف ۲ صندلی بیشتر از قبلی داشته باشد، جملهٔ الگو $a_n = 20 + (n-1)\times2$ میشود. ردیف پانزدهم $a_{15}=20+28=48$ صندلی دارد. عدد متناظر با مرحلهٔ ۱۵ یعنی ۴۸ صندلی.
۴. گامی فراتر: الگوهای توانی و جمله عمومی aₙ = n² , ۲ⁿ
در پایهٔ هشتم و نهم با الگوهای مربعی یا مثلثی آشنا میشوید. بهعنوان مثال تعداد پارهخطهای متصلکننده n نقطه روی یک دایره از فرمول $a_n = \frac{n(n-1)}{2}$ پیروی میکند. در اینجا a₁ صفر است (یک نقطه خط ندارد) و a₂ = 1, a₃ = 3, a₄ = 6.
یک مثال جذاب: رشد باکتریها. هر ساعت تعداد باکتریها دو برابر میشود. اگر شروع با 100 باکتری باشد: $a_1 = 100,\ a_2 = 200,\ a_3 = 400$. جملهٔ عمومی: $a_n = 100 \times 2^{n-1}$. عدد متناظر با ساعت هفتم $a_7 = 100 \times 2^{6} = 6400$ باکتری. این فرمولها با نماد aₙ بسیار جمعوجور و قدرتمند هستند.
<!-- تراشه برای تأکید روی الگوهای توانی --> رشد نمایی ↔ aₙ = a₁·rⁿ⁻¹۵. اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
<!-- سؤال ۱ -->پرسش رایج ❓ اشتباه: «عدد متناظر با هر مرحله حتماً باید از فرمول یکسان بهدست آید»
✅ پاسخ: خیر! بعضی الگوها قاعدهٔ چندبخشی دارند. مثل الگوی اعداد طبیعی که بر ۳ بخشپذیرند: a₁=3, a₂=6, a₃=9, … اما عدد ۱ خودش جمله نیست. یا الگوی خانههای سیاه و سفید که در مراحل زوج و فرد متفاوت است. پس همیشه فرمول یکتا وجود ندارد و باید الگو را با دقت بررسی کرد.
پرسش رایج ❓ آیا همیشه a₁ اولین جمله است؟
✅ پاسخ: بله، طبق قرارداد a₁ اولین جملهای است که الگو از آن شروع میشود. گاهی در مسئله ممکن است مرحلهٔ صفر (a₀) هم تعریف کنند، اما در کتابهای مدرسه معمولاً از a₁ شروع میکنیم تا شمارهها با تعداد مراحل هماهنگ باشد.
پرسش رایج ❓ چطور بفهمیم یک الگو از کدام فرمول پیروی میکند؟
✅ پاسخ: تفاضلهای پشتسر هم را حساب کنید. اگر تفاضل جملهها ثابت بود → الگوی حسابی (خطی). اگر نسبت جملهها ثابت بود → الگوی هندسی (نمایی). اگر تفاضلِ تفاضلها ثابت شد → الگوی درجه۲ (مثل n²). یک روش عملی: جملات را کنار شمارهٔ مرحله بنویسید و به دنبال الگوی ضرب و جمع بگردید.
? جمعبندی: زبان مشترک ریاضیدانان
نماد a₁ , a₂ , … , aₙ یک قرارداد بینالمللی است تا همه بتوانیم دربارهٔ مرحلههای مختلف یک الگو حرف بزنیم. عدد متناظر با هر مرحله درواقع همان مقدار aₙ است. از الگوهای سادهٔ خانهسازی تا رشد جمعیت و چیدمان هندسی، همه با کمک «جمله عمومی» به راحتی مدلسازی میشوند. با تمرین جدولها و پیدا کردن تفاضل یا نسبت مشترک، میتوانید حتی پیچیدهترین الگوها را هم به فرمولی زیبا مانند aₙ = … تبدیل کنید. این توانایی شما را برای حل مسائل المپیاد و زندگی روزمره آماده میسازد.
۶. پاورقی (واژهنامه و اختصارات)
[۱] جمله الگو (Sequence Term): به مقدار مرحلهٔ nام یک الگو گفته میشود که با نماد aₙ نمایش مییابد.
[۲] عدد متناظر (Corresponding Value): همان مقدار عددی aₙ است که در مرحلهٔ nام ظاهر میشود.
[۳] فاصلهٔ مشترک (Common Difference): در الگوهای حسابی، مقدار ثابتی که هر بار به جمله اضافه میشود. با حرف d نشان داده میشود.
[۴] نسبت مشترک (Common Ratio): در الگوهای هندسی، مقدار ثابتی که هر جمله در آن ضرب میشود تا جملهٔ بعد به دست آید. با حرف r نمایش داده میشود.
[۵] جمله عمومی (General Term): فرمولی که بر حسب n مقدار aₙ را محاسبه میکند.
