دو مجموعهٔ جدا از هم: وقتی اشتراک تهی است
۱. مجموعه و عضو مشترک یعنی چه؟ (پایهٔ اول)
فرض کنید یک سبد میوه دارید. هر چیزی که داخل سبد است «عضو» آن مجموعه است. مثلاً مجموعهٔ الف = {سیب، پرتقال، موز}. حالا یک سبد دیگر داریم، مجموعهٔ ب = {خیار، گوجه، کاهو}. آیا میوهای هست که هم در سبد اول و هم در سبد دوم باشد؟ خیر. سیب در سبد دوم نیست، خیار در سبد اول نیست. این دو مجموعه هیچ «عضو مشترکی» ندارند. در زبان ریاضی میگوییم «این دو مجموعه جدا از هم هستند» و اشتراک آنها را با نماد $\cap$ نشان میدهیم: $A \cap B = \emptyset$.
✏️ تمرین ذهنی مجموعهٔ دوستان شما که عینک دارند و مجموعهٔ دوستان شما که موهای قهوهای دارند. ممکن است کسی هم عینک داشته باشد هم موهای قهوهای! پس این دو مجموعه لزوماً جدا از هم نیستند. اما اگر بگوییم «دانشآموزان کلاس اول» و «معلمان مدرسه» – هیچکس همزمان هم دانشآموز کلاس اول باشد هم معلم؟ بنابراین این دو مجموعه جدا از هم هستند.
۲. نماد ریاضی و زبان فارسی
برای نوشتن مجموعه از کمانک { } استفاده میکنیم. اشتراک دو مجموعه یعنی اعضایی که در هر دو حضور دارند. وقتی اشتراک تهی است مینویسیم $A \cap B = \varnothing$. علامت $\varnothing$ یا $\emptyset$ مجموعهی تهی را نشان میدهد؛ مجموعهای که هیچ عضوی ندارد. به این میگوییم «دو مجموعهٔ جدا از هم»[1].
| مجموعهٔ اول | مجموعهٔ دوم | آیا جدا از هماند؟ | اشتراک |
|---|---|---|---|
| {اسب، گاو، مرغ} | {ماشین، هواپیما، قطار} | آری ✓ | $\emptyset$ |
| {۲، ۴، ۶، ۸} | {۱، ۳، ۵، ۷} | آری ✓ | $\emptyset$ |
| {پدر، مادر، فرزند} | {پدربزرگ، مادربزرگ} | آری ✓ | $\emptyset$ |
| {اعداد زوج} | {اعداد فرد} | آری ✓ | $\emptyset$ |
| {دانشآموزان کلاس پنجم} | {معلمان مدرسه} | خیر ✗ | (معلمشاگرد) $\neq \emptyset$ |
۳. کاربرد در زندگی روزمره و علوم پایه
وقتی نوبت به خرید میرسد، فروشنده کالاهای خواربار را از لوازمالتحریر جدا میکند. در واقع او دو مجموعه با اشتراک تهی میسازد. در آزمایشگاه علوم، اگر مجموعهٔ «حیوانات پستاندار» و مجموعهٔ «حیوانات تخمگذار» را در نظر بگیریم، platypus (نوکاردکی) هر دو ویژگی را دارد؛ بنابراین این دو مجموعه جدا از هم نیستند. اما مجموعهٔ «پستانداران خشکیزی» و «پستانداران دریایی» – هرچند برخی تداخل دارند – اگر زیرمجموعههای خاصی انتخاب کنیم میتوان کاملاً جدا از هم ساخت.
? در آمار و احتمال، وقتی میگوییم دو پیشامد «ناسازگار»[2] هستند یعنی اشتراک آنها تهی است. مثلاً انداختن تاس: «آوردن عدد ۲» و «آوردن عدد ۵» هرگز همزمان رخ نمیدهند. این همان مجموعههای جدا از هم است.
۴. داستانک علمی: شناسایی اشتراکهای پنهان
زهرا و سارا هر کدام یک جعبهی مداد رنگی دارند. زهرا میگوید: «جعبهی من رنگهای آبی، قرمز، زرد، سبز دارد.» سارا میگوید: «جعبهی من نارنجی، بنفش، صورتی، قهوهای دارد.» آیا مداد رنگی مشترکی دارند؟ خیر. پس اشتراک جعبهها تهی است. حالا اگر سارا یک مداد زرد هم داشته باشد، آنها دیگر جدا از هم نیستند. ریاضیدانها از این مفهوم برای ساختن دستهبندیهای دقیق در علم رایانه، زیستشناسی و حتی موسیقی استفاده میکنند. مثلاً نتهایی که با پیانو و با ویولون نواخته میشوند مجموعههای جدا نیستند (یک نت را میشود با هر دو ساز زد)، ولی مجموعهی «سازهای زهی» و «سازهای بادی» – یک ساز نمیتواند همزمان زهی و بادی باشد (به جز موارد نادر مانند هارمونیکا!) – در نتیجه این دو مجموعه در دستهبندی پایه جدا از هم هستند.
۵. اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: بله، دقیقاً همین معنا را میدهد. حتی اگر یک عضو مشترک پیدا شود، دیگر جدا از هم نیستند. پس مجموعهٔ اعداد زوج و مجموعهٔ اعداد فرد جدا از هماند، اما مجموعهٔ اعداد زوج و مجموعهٔ اعداد بخشپذیر بر ۴ جدا نیستند (مثل ۴، ۸، ... مشترک است).
پاسخ: بله! مجموعهٔ تهی هیچ عضوی ندارد، پس نمیتواند عضو مشترکی با مجموعهٔ دیگر داشته باشد. همیشه $\emptyset \cap A = \emptyset$. بنابراین مجموعهٔ تهی با همهی مجموعهها جدا از هم است (البته با خودش هم! چون تهی با تهی اشتراکش تهی است).
پاسخ: «جدا از هم» یک توصیف فارسی روان است، ولی در ریاضیات دقیقاً با نماد $\cap$ و $\emptyset$ نمایش داده میشود. این نمادگذاری بینالمللی است و همهی ریاضیدانها در جهان آن را میفهمند. در کتابهای درسی گاهی میگویند «دو مجموعهٔ ناهمجا»[3] که همان معنا را میدهد.
۶. مجموعههای جدا از هم در دوره متوسطه (تعمیم مفهوم)
در دبیرستان با مجموعههای اعداد، توابع و بازهها سر و کار داریم. دو بازه مانند $(- \infty , 0)$ و $(0 , + \infty)$ جدا از هم هستند؛ زیرا هیچ عددی همزمان کوچکتر از صفر و بزرگتر از صفر نیست. ولی نقطهی صفر را که در نظر بگیریم، این دو بازه همچنان صفر را شامل نمیشوند و اشتراکشان تهی است. همین مفهوم در معادلات و دستگاههای خطی کاربرد دارد: اگر جواب دستگاه دو معادله، مجموعههای جواب جدا از هم باشند یعنی دستگاه هیچ جواب مشترکی ندارد.
پاورقی
[1] معادل انگلیسی: Disjoint sets – دو مجموعه که اشتراک آنها تهی است.
[2] معادل انگلیسی: Mutually exclusive events – پیشامدهای ناسازگار در احتمال.
[3] معادل انگلیسی: Disjoint – در برخی کتابهای فارسی «مجموعههای ناهمجا» نیز ترجمه شده است.
