متمم مجموعه
هر آنچه بیرون جعبهٔ آبی است
در این مقاله با «متمم مجموعه» (مکمل یک مجموعه) آشنا میشوید؛ از تعریف سادهٔ آن در ریاضیات ابتدایی تا کاربردش در آمار و زندگی روزمره. با مثالهای تصویری، جدولهای مقایسه و پاسخ به اشتباهات رایج، یاد میگیریم چطور متمم یک مجموعه را پیدا کنیم و چرا نماد A′ در کتابهای ریاضی دورهٔ متوسطه اینقدر مهم است. همچنین تفاوت متمم نسبی و متمم مطلق را با قابلیت درک دانشآموز پایهی هفتم توضیح میدهیم.
جهان ما و اعضای غایب (متمم به زبان ساده)
فرض کنید یک جعبهٔ بزرگ داریم به نام مجموعهٔ جهانی[1] (U) که همهٔ چیزهایی که الان به آنها فکر میکنیم داخل آن است. در این جعبه، یک جعبهٔ کوچکتر به نام A داریم. حالا متمم A یعنی هر چیزی که در جعبهٔ بزرگ (U) هست ولی در جعبهٔ کوچک (A) نیست. خیلی ساده: متمم یعنی «بقیهٔ چیزها» یا «اعضای غایب».
مثال : کلاس ۲۰ نفر دانشآموز دارد (U). ۷ نفر فوتبال دوست دارند (A). متمم A یعنی ۱۳ نفری که فوتبال دوست ندارند. این ۱۳ نفر عضو مجموعهٔ جهانی هستند ولی عضو A نیستند. پس نمایش میدهیم: $A′ = U - A$
مثال : کلاس ۲۰ نفر دانشآموز دارد (U). ۷ نفر فوتبال دوست دارند (A). متمم A یعنی ۱۳ نفری که فوتبال دوست ندارند. این ۱۳ نفر عضو مجموعهٔ جهانی هستند ولی عضو A نیستند. پس نمایش میدهیم: $A′ = U - A$
نکته : متمم همیشه به یک «مجموعهٔ مرجع» نیاز دارد. اگر آن مرجع را مشخص نکنیم، متمم معنی ندارد. به همین دلیل همیشه اول U را تعریف میکنیم.
نمادهای ریاضی متمم
در کتابهای درسی ایران، از پایهٔ هفتم به بعد، رایجترین نماد برای متمم یک مجموعه $A'$ یا $A^c$ است. گاهی با $C_U(A)$ هم نمایش میدهند که یعنی «متمم A نسبت به U». همهٔ اینها یعنی یک چیز: اعضایی از U که در A عضویت ندارند.
فرمول اصلی: $A′ = \{x \in U \mid x \notin A\}$
فرمول اصلی: $A′ = \{x \in U \mid x \notin A\}$
| پایهٔ تحصیلی / منبع | نماد رایج | مثال خوانش |
|---|---|---|
| دورهٔ اول متوسطه (هفتم، هشتم) | $A'$ | آی پریم |
| دورهٔ دوم متوسطه (ریاضی) | $A^c$ یا $\overline{A}$ | متمم آ / آ کامپلمنت |
| کتابهای دانشگاهی (مقدماتی) | $C_U(A)$ | متمم آ نسبت به یو |
متمم نسبی در برابر متمم مطلق
در سالهای بالاتر، دو نوع متمم یاد میگیریم. هر دو بر اساس «چیزی که نیست» تعریف میشوند اما یک تفاوت ظریف دارند:
- متمم مطلق: وقتی U همه چیزهای ممکن باشد. مثال: همهٔ اعداد طبیعی. متمم مجموعهٔ اعداد زوج، اعداد فرد است.
- متمم نسبی (تفاضل دو مجموعه): یعنی اعضایی که در مجموعهٔ B هستند اما در A نیستند. نمایش: $B - A$ یا $B \setminus A$.
کاربرد عملی؛ وقتی متمم، مسئله را حل میکند
مثال:
معلم ریاضی از دانشآموزان خواست اعضای مجموعهٔ A = {۲، ۴، ۶، ۸} را درون مجموعهٔ جهانی U = {۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶، ۷، ۸، ۹} مشخص کنند. رضا دستش را بلند کرد و گفت: «پس متمم A میشود {۱، ۳، ۵، ۷، ۹}». معلم پرسید «چطور زودی فهمیدی؟» رضا پاسخ داد: «هرچه در U هست و در A نیست، یعنی فردهای کوچکتر از ۱۰.»
کاربرد در علم داده و آمار: در یک نظرسنجی، متمم به ما میگوید چه کسانی گزینهٔ مورد نظر را انتخاب نکردهاند. اگر ۶۰% مردم فیلم کمدی دوست داشته باشند، متمم یعنی ۴۰% باقیمانده که یا ژانر دیگر میپسندند یا اهل فیلم نیستند. پس متمم در بازاریابی، «فرصت از دست رفته» را نشان میدهد.
ایدهٔ طراحی بازی در یک بازی حدس عدد، اگر عدد مورد نظر عضو مجموعهٔ A نباشد، حتماً عضو متمم است. این باعث میشود فضای جستجو نصف شود.
کاربرد در علم داده و آمار: در یک نظرسنجی، متمم به ما میگوید چه کسانی گزینهٔ مورد نظر را انتخاب نکردهاند. اگر ۶۰% مردم فیلم کمدی دوست داشته باشند، متمم یعنی ۴۰% باقیمانده که یا ژانر دیگر میپسندند یا اهل فیلم نیستند. پس متمم در بازاریابی، «فرصت از دست رفته» را نشان میدهد.
ایدهٔ طراحی بازی در یک بازی حدس عدد، اگر عدد مورد نظر عضو مجموعهٔ A نباشد، حتماً عضو متمم است. این باعث میشود فضای جستجو نصف شود.
| زمینهٔ کاربرد | مجموعهٔ A | متمم A (چه چیزی را نشان میدهد؟) | رنگ برچسب وضعیت |
|---|---|---|---|
| مدیریت فروشگاه | کالاهای پرفروش | کالاهای کمفروش یا راکد | هشدار: نیاز به تخفیف |
| آزمون استخدامی | داوطلبان پذیرفتهشده | داوطلبان مردود یا غایب | فرصت مجدد |
| برنامهنویسی | کاربران فعال | کاربران غیرفعال (غیاب) | هدف بازگشت |
پرسشهای مهم
❓ ۱. آیا متمم یک مجموعه همیشه وجود دارد؟
✅ پاسخ: خیر! اگر مجموعهٔ جهانی (U) را تعریف نکرده باشیم، متمم تعریف نشده است. مثلاً «متمم مجموعهٔ اعداد زوج» مبهم است؛ آیا منظور اعداد طبیعی است یا اعداد صحیح یا همهٔ اعداد حقیقی؟ حتماً باید مرجع را بگوییم.
✅ پاسخ: خیر! اگر مجموعهٔ جهانی (U) را تعریف نکرده باشیم، متمم تعریف نشده است. مثلاً «متمم مجموعهٔ اعداد زوج» مبهم است؛ آیا منظور اعداد طبیعی است یا اعداد صحیح یا همهٔ اعداد حقیقی؟ حتماً باید مرجع را بگوییم.
❓ ۲. آیا متمم مجموعهٔ تهی، مجموعهٔ جهانی است؟
✅ پاسخ: بله. اگر A مجموعهای بدون عضو باشد ($\varnothing$)، متمم آن همهٔ اعضای U خواهد بود: $\varnothing' = U$. همچنین متمم مجموعهٔ جهانی، مجموعهٔ تهی است: $U' = \varnothing$.
✅ پاسخ: بله. اگر A مجموعهای بدون عضو باشد ($\varnothing$)، متمم آن همهٔ اعضای U خواهد بود: $\varnothing' = U$. همچنین متمم مجموعهٔ جهانی، مجموعهٔ تهی است: $U' = \varnothing$.
❓ ۳. آیا متمم و اجتماع با هم رابطه دارند؟
✅ پاسخ: بله. دو قانون بسیار مهم به نام قوانین دو مورگان[2] وجود دارد: $(A \cup B)' = A' \cap B'$ و $(A \cap B)' = A' \cup B'$. یعنی متمم اجتماع، اشتراک متممهاست و بالعکس. این قوانین در سادهسازی عبارتهای منطقی بسیار کمک میکند.
✅ پاسخ: بله. دو قانون بسیار مهم به نام قوانین دو مورگان[2] وجود دارد: $(A \cup B)' = A' \cap B'$ و $(A \cap B)' = A' \cup B'$. یعنی متمم اجتماع، اشتراک متممهاست و بالعکس. این قوانین در سادهسازی عبارتهای منطقی بسیار کمک میکند.
تمرین گامبهگام
گام ۱: مجموعهٔ U = {شمارههای ۱ تا ۱۰} و A = {۲، ۴، ۶، ۸، ۱۰}. متمم A میشود {۱، ۳، ۵، ۷، ۹}.
گام ۲: اگر U = مجموعهٔ حروف الفبا و A = حروف کلمهٔ «ریاضی»، متمم A یعنی همهٔ حروفی که در کلمهٔ ریاضی نیستند.
گام ۳ : U = اعداد صحیح، A = مضارب ۳. متمم A اعدادی هستند که بر ۳ بخشپذیر نیستند.
گام ۲: اگر U = مجموعهٔ حروف الفبا و A = حروف کلمهٔ «ریاضی»، متمم A یعنی همهٔ حروفی که در کلمهٔ ریاضی نیستند.
گام ۳ : U = اعداد صحیح، A = مضارب ۳. متمم A اعدادی هستند که بر ۳ بخشپذیر نیستند.
جمعبندی: متمم یک مجموعه، قلب منطق «نه» در ریاضیات است. از کلاس دوم که میگوییم «همهٔ مدادهای غیرقرمز» تا مسائل پیچیدهٔ نظریهٔ مجموعهها، متمم ابزاری است برای تقسیم جهان به دو بخش: «درون A» و «بیرون A». به خاطر بسپاریم: هر عضو U یا در A است یا در A′؛ هیچ راه سوم نیست. با درک درست متمم، تحلیل دادهها، احتمال و حتی برنامهنویسی برایمان شیرینتر میشود.
پاورقی
[1]مجموعهٔ جهانی (Universal Set): به انگلیسی Universal Set، مجموعهای که همهٔ اشیاء مورد بحث در یک زمینهٔ خاص را در بر میگیرد و معمولاً با نماد U نشان داده میشود.
[2]قوانین دو مورگان (De Morgan's laws): دو قاعدهی تبدیل در جبر مجموعهها و منطق که رابطهٔ میان اجتماع، اشتراک و متمم را بیان میکند. نامگذاری شده از آگوستوس دو مورگان، ریاضیدان بریتانیایی.
[2]قوانین دو مورگان (De Morgan's laws): دو قاعدهی تبدیل در جبر مجموعهها و منطق که رابطهٔ میان اجتماع، اشتراک و متمم را بیان میکند. نامگذاری شده از آگوستوس دو مورگان، ریاضیدان بریتانیایی.
