نکته: در مثلث ABC با طول اضلاع a، b و c داریم:

اگر $\left\{ \begin{matrix}
   2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{X}  \\
   2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{Y}  \\
\end{matrix} \right.$ فرض شود، بردار $\overrightarrow{X}-\overrightarrow{Y}$ در شکل نشان داده شده است.

در این مثلث قضیه‌ی کسینوس‌ها را می‌نویسیم:

$\begin{align}
  & {{\left| X-Y \right|}^{2}}={{\left| 2a-b \right|}^{2}}+{{\left| 2a+b \right|}^{2}}-2\left| 2a-b \right|\left| 2a+b \right|\operatorname{Cos}{{60}^{{}^\circ }}\Rightarrow {{\left| X-Y \right|}^{2}} \\ 
 & ={{2}^{2}}+{{4}^{2}}-2\times 2\times 4\times \frac{1}{2}=4+16-8=12\Rightarrow \left| X-Y \right|=\sqrt{12}=2\sqrt{3} \\ 
 & \Rightarrow \left| (2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})-(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \right|=2\sqrt{3}=\left| 2b \right|=2\left| b \right|\Rightarrow \left| b \right|=\sqrt{3} \\ 
\end{align}$