برای این‌که مشتق دوم پیوسته باشد، باید $f$ و ${f}'$ نیز پیوسته باشد.

$f(x)=\left\{ \begin{matrix}    {{x}^{3}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,x\le 1  \\    a{{x}^{2}}+bx+c\,\,\,,\,\,\,x \gt 1  \\ \end{matrix} \right.$ 

$f(1)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\Rightarrow 1=a+b+c$ 

${{{f}'}_{-}}(1)={{{f}'}_{+}}(1)\Rightarrow 3=2a+b$ 

${f}'(x)=\left\{ \begin{matrix}    3{{x}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,x \lt 1  \\    2ax+b\,\,\,,\,\,\,x \gt 1  \\ \end{matrix} \right.$ 

${{{f}''}_{-}}(1)={{{f}''}_{+}}(1)\Rightarrow 6=2a\Rightarrow a=3$ 

${f}''(x)=\left\{ \begin{matrix}    6x\,\,\,,\,\,\,x \lt 1  \\    2a\,\,\,,\,\,\,x \gt 1  \\ \end{matrix} \right.$ 

$2a+b=3\xrightarrow{a=3}b=-3$ 

و هم‌چنین از $a+b+c=1$، $a=3$ و $b=-3$، نتیجه می‌شود $c=1$. پس: 

$f(x)=\left\{ \begin{matrix}    {{x}^{3}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,x\le 1  \\    3{{x}^{2}}-3x+1\,\,\,,\,\,\,x \gt 1  \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow f(2)=3{{(2)}^{2}}-3(2)+1=7$