با توجه به صورت سؤال داریم:

$\begin{align}  & (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}\Rightarrow \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c} \\  & \Rightarrow \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{O}\Rightarrow \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}=\overrightarrow{O} \\ \end{align}$

رابطهٔ بالا را در $\overrightarrow{a}$ ضرب داخلی می‌‌کنیم.

$\begin{align}  & \overrightarrow{a}.(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})\overrightarrow{a}.\overrightarrow{O} \\  & \Rightarrow \underbrace{\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})}_{0}+\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})+\underbrace{\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})}_{0}=0 \\ \end{align}$