نقاط $M$ و $N$ ثابت‌اند و چون محیط مثلث $MNP$ مقداری ثابت است، پس:

 $MN+MP+NP=12\Rightarrow MP+NP=8$

یعنی نقطهٔ $P$ مکان هندسی نقاطی است که مجموع فواصل آن‌ها از دو نقطهٔ $M$ و $N$ همواره برابر $8$ است. به عبارت دیگر نقطهٔ $P$ روی بیضی با کانون‌های $M$ و $N$ قرار دارد که مجموع فاصله‌های $P$ تا دو کانون برابر $8$ (طول قطر بزرگ بیضی) شده!

$M$ و $N$ کانون‌های بیضی هستند، پس: $MN=2c=4\Rightarrow c=2$

از طرفی: $2a=8\Rightarrow a=4$

از رابطهٔ ${{a}^{2}}-{{c}^{2}}={{b}^{2}}$ داریم: ${{4}^{2}}-{{2}^{2}}={{b}^{2}}\Rightarrow b=2\sqrt{3}$

قاعدهٔ مثلث $MNP$ ثابت است، برای این‌که مساحت مثلث $MNP$ بیش‌ترین مقدار را داشته باشد، باید ارتفاع مثلث، حداکثر مقدار خود را داشته باشد. حداکثر ارتفاع مثلث زمانی ایجاد می‌شود که نقطهٔ $P$ رأس ناکانونی بیضی باشد. بنابراین بیش‌ترین مقدار مساحت مثلث $MNP$ برابر است با:

$\frac{2c\times b}{2}=bc=2\sqrt{3}\times 2=4\sqrt{3}$