ابتدا بردارهای $\overrightarrow{MN}$ و $\overrightarrow{NP}$ را تشكيل داده و مساحت مثلث $MNP$ را به‌دست می‌آوریم:

\[\left. \begin{matrix}    \overrightarrow{MN}=(5,3,1)  \\    \overrightarrow{NP}=(1,3,5)  \\ \end{matrix} \right\}\Rightarrow \overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{NP}=(12,-24,12)\] 

${{S}_{\overset{\Delta }{\mathop{MNP}}\,}}=\frac{1}{2}\left| \overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{NP} \right|=\frac{1}{2}\sqrt{{{12}^{2}}+{{(-24)}^{2}}+{{12}^{2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{12}^{2}}+4\times {{12}^{2}}+{{12}^{2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{6\times {{12}^{2}}}=6\sqrt{6}$ 

می‌دانيم مساحت مثلثی كه از وصل كردن وسط‌های اضلاع يك مثلث پديد می‌آید، $\frac{1}{4}$ مساحت آن مثلث است، بنابراين داريم:

${{S}_{\overset{\Delta }{\mathop{MNP}}\,}}=\frac{1}{4}{{S}_{\overset{\Delta }{\mathop{ABC}}\,}}\Rightarrow 6\sqrt{6}=\frac{1}{4}{{S}_{\overset{\Delta }{\mathop{ABC}}\,}}\Rightarrow {{S}_{\overset{\Delta }{\mathop{ABC}}\,}}=24\sqrt{6}$