$A$ را داریم پس ${{A}^{-1}}$ را می‌توانیم حساب کنیم:

 ${{A}^{-1}}=\frac{1}{-8-(-3)}\left| \begin{matrix}
   -4 & 1  \\
   -3 & 2  \\
\end{matrix} \right|=-\frac{1}{5}\left| \begin{matrix}
   -4 & 1  \\
   -3 & 2  \\
\end{matrix} \right|$

اکنون با توجه به رابطهٔ $\alpha A+\beta I={{A}^{-1}}$ می‌توانیم $\beta $ را پیدا کنیم:

$\begin{align}
  & \alpha \left[ \begin{matrix}
   2 & -1  \\
   3 & -4  \\
\end{matrix} \right]+\beta \left[ \begin{matrix}
   1 & 0  \\
   0 & 1  \\
\end{matrix} \right]=-\frac{1}{5}\left[ \begin{matrix}
   -4 & 1  \\
   -3 & 2  \\
\end{matrix} \right] \\
 & \Rightarrow \left[ \begin{matrix}
   2\alpha +\beta  & -\alpha   \\
   3\alpha  & -4\alpha +\beta   \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
   \frac{4}{5} & -\frac{1}{5}  \\
   \frac{3}{5} & -\frac{2}{5}  \\
\end{matrix} \right] \\
 & \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
   -\alpha =-\frac{1}{5}\Rightarrow \alpha =\frac{1}{5}  \\
   2\alpha +\beta =\frac{4}{5}\xrightarrow{\alpha =\frac{1}{5}}\beta =\frac{2}{5}  \\
\end{matrix} \right. \\
\end{align}$