نکته: $(f(u){)}'={u}'{f}'(u)$

نکته: شیب خط مماس بر منحنی $f$ در نقطۀ $A(a,f(a))$ را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم: (به‌شرطی که این حد موجود و متناهی باشد.)

شیب خط مماس بر منحنی در نقطهٔ $A$ $=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

حد بالا را (در صورت وجود) مشتق تابع $f$ در نقطۀ $a$ می‌نامند و با ${f}'(a)$ نمایش می‌دهند؛ یعنی:

${f}'(a)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

چون تابع در $x=2$ مشتق‌پذیر است، پس:

$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)+3}{(x-2)(x+2)}=\frac{5}{2}\Rightarrow \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,(\frac{f(x)+3}{x-2}\times \frac{1}{x+2})=\frac{5}{2}$

$\Rightarrow \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)+3}{x-2}\times \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x+2}=\frac{5}{2}\Rightarrow \frac{1}{4}\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)+3}{x-2}=\frac{5}{2}$

$\Rightarrow \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)+3}{x-2}=10\Rightarrow \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=10\Rightarrow {f}'(2)=10$

دقت کنید در این حد، چون مخرج به‌ازای $x=2$ صفر می‌شود، ولی حاصل حد عددی حقیقی است، پس باید صورت کسر هم به‌ازای $x=2$ صفر گردد. یعنی: $f(2)=-3$

حال مشتق $y=\frac{f(2x)}{x}$ را محاسبه می‌کنیم:

${y}'=\frac{2{f}'(2x)\times x-f(2x)}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {y}'(1)=\frac{2{f}'(2)-f(2)}{1}\Rightarrow {y}'(1)=2{f}'(2)-f(2)\Rightarrow {y}'(1)=2\times 10+3=23$

تابع $f$ در $x=۲$ تابعی مشتق‌پذیر است، به طوری که $\underset{x\to ۲}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)+۳}{{{x}^{۲}}-۴}=\frac{۵}{۲}$. مقدار مشتق $y=\frac{f(۲x)}{x}$ در $x=۱$ کدام است؟