تابع را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

$f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix}    \frac{2}{\sqrt{x}},x\ge 1  \\    a{{x}^{2}}+bx,x \lt 1  \\ \end{matrix} \right.$

برای آنکه تابع در $R$ مشتق‌پذیر باشد، کافی است در $x=1$ مشتق‌پذیر باشد، لذا:

شرط پیوستگی : $\displaystyle{\lim_{x \to 1^+}} f\left( x \right)= \displaystyle{\lim_{x \to 1^-}} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)$

$\displaystyle{\lim_{x \to 1^+}} \frac{2}{\sqrt{x}}= \displaystyle{\lim_{x \to 1^-}} \left( a{{x}^{2}}+bx \right)\Rightarrow 2=a+b\begin{matrix}    {} & \left( 1 \right)  \\ \end{matrix}$ 

${f}'\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix}    -\frac{3}{2}  \\    -x,x \gt 1  \\    2ax+b,x \lt 1  \\ \end{matrix} \right.$ 

${f}'+\left( 1 \right)={f}'-\left( 1 \right)\Rightarrow {f}'+\left( 1 \right)=-1 , {f}'-\left( 1 \right)=2a+b \Rightarrow 2a+b=-1$

از حل (1) و (2) در یک دستگاه داریم:

$^{-2}\left\{ \begin{matrix}    a+b=2  \\    2a+b=-1  \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow -b=-5\Rightarrow b=5$