$\left\{ \begin{matrix}    1+\operatorname{cosa}=2{{\cos }^{2}}\left( \frac{a}{2} \right)  \\    1-\operatorname{cosa}=2{{\sin }^{2}}\left( \frac{a}{2} \right)  \\ \end{matrix} \right.$ 

عبارت مساله را ساده می‌کنیم:

$\sin \frac{a}{2}=1-\operatorname{cosa}\Rightarrow \sin \left( \frac{a}{2} \right)=2{{\sin }^{2}}\left( \frac{a}{2} \right)\Rightarrow 2{{\sin }^{2}}\left( \frac{a}{2} \right)-\sin \left( \frac{a}{2} \right)=0\Rightarrow \sin \left( \frac{a}{2} \right)\left( 2\sin \left( \frac{a}{2} \right)-1 \right)=0$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}    \sin \left( \frac{a}{2} \right)=0\Rightarrow \frac{a}{2}=k\pi \xrightarrow{\times 4}2a=4k\pi \Rightarrow \tan 2a=0  \\    \sin \left( \frac{a}{2} \right)- 1=0\Rightarrow \sin \left( \frac{a}{2} \right)=\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}  \\ \end{matrix} \right.$ 

$\left\{ \begin{matrix}    \frac{a}{2}=2k\pi +\frac{\pi }{6}\xrightarrow{\times 4}2a=8k\pi +\frac{2\pi }{3}\Rightarrow \tan 2a=-\sqrt{3}  \\    \frac{a}{2}=2k\pi +\frac{5\pi }{6}\xrightarrow{\times 4}2a=8k\pi +\frac{10\pi }{3}\Rightarrow \tan 2a=\sqrt{3}  \\ \end{matrix} \right.$ 

پس مجموع مقادیر برای $\tan 2a$ برابر است با:

$\sqrt{3}-\sqrt{3}=0$