تعداد زیرمجموعه‌ها، احتمال در تاس‌ها و هم نهشتی مثلث‌ها

مجموعه‌ها و زیرمجموعه‌های آن‌ها بر اساس تعداد اعضا تحلیل می‌شوند، به‌طوری‌که تعداد زیرمجموعه‌های n عضوی برابر است با 2 به توان n و در نتیجه، برای مجموعه‌ای با 10 عضو، تعداد زیرمجموعه‌های مختلف در بازه‌های مختلف (صفر تا 10 عضو) مشخص است. تقارن در تعداد زیرمجموعه‌های k عضوی و (10-k) عضوی برقرار است، به‌طوری‌که زیرمجموعه‌های 0 عضوی و 10 عضوی هر دو 1 عدد هستند؛ زیرمجموعه‌های 1 عضوی و 9 عضوی هر کدام 10 عدد؛ و همین‌طور برای دیگر تعداد اعضا، با ترکیبات مختلف مانند C(10, k) تعیین می‌شود. در نمونه‌های شرط‌دار، اعضایی که باید باشند یا انتخاب‌پذیر هستند، تعداد زیرمجموعه‌ها بر اساس محدودیت‌های اعضا مشخص می‌شود، مانند مجموعه‌هایی که باید شامل اعضای خاصی باشند یا تعداد اعضای مشخصی داشته باشند، و در محاسبات، از ترکیبات و تفاوت‌های تعداد اعضا بهره گرفته می‌شود. همچنین، در مجموعه‌هایی که اختلاف بین کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین عضو‌ها باید 8 باشد، شرایط بر اساس مقدار کوچک‌ترین عضو و تعداد اعضای مجاز در نظر گرفته شده است، به‌طوری‌که اگر کوچک‌ترین عضو 1 باشد، بزرگ‌ترین باید 9 و اگر 2 باشد، 10، و غیره. در چالش‌های مربوط به ضرب اعضا، مجموعه‌هایی با حداقل دو عضو که حاصل‌ضرب اعضای آن‌ها 24 است، بررسی می‌شود و گزینه‌های مختلف تعداد اعضا ارزیابی می‌شود. در مباحث احتمال، احتمال‌های مربوط به جمع‌های مختلف در پرتاب تاس، حالت‌های زوج و فرد بودن، و نتیجه‌های مرتبط بر اساس تعداد حالت‌ها و احتمال‌های متمم و محدودیت‌های جمع و ضرب بررسی می‌شود. همچنین، خواص مجموعه‌های هندسی مانند مثلث‌ها، متوازی‌الاضلاع‌ها، قطرها، و ویژگی‌های مربوط به هم‌نهشتی، و خاصیت‌های مثلث‌های متساوی‌الساقین و متساوی‌الاضلاع، بر اساس خواص زاویه‌ها، ضلع‌ها، قطرها، ارتفاع‌ها و رابطه‌های بین آن‌ها تحلیل می‌شوند.