قضیه کسینوسها: کلید حل معمای مثلث
از فیثاغورس تا کسینوس: یک تعمیم مهم
همه ما با قضیه معروف فیثاغورس آشنا هستیم: در یک مثلث قائمالزاویه، مجذور وتر برابر است با مجموع مجذورهای دو ضلع دیگر. اما سؤال اینجاست: اگر مثلث ما قائمالزاویه نباشد، چه رابطهای بین ضلعها وجود دارد؟ پاسخ این سؤال، قضیه کسینوسها1 است. این قضیه میگوید برای هر مثلث دلخواه، مجذور هر ضلع، برابر است با مجموع مجذورهای دو ضلع دیگر، منهای دو برابر حاصلضرب آن دو ضلع در کسینوس زاویه بین آنها.
فرض کنید در مثلث ABC، ضلعها a، b و c روبروی زاویههای A، B و C باشند. در این صورت:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A)$
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(B)$
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$
چگونه قضیه را بهخاطر بسپاریم؟ (نقشه ذهنی)
برای به خاطر سپردن آسان این فرمول، آن را به سه بخش تقسیم کنید:
| بخش فرمول | معنای هندسی | نکته کلیدی |
|---|---|---|
| $a^2$ | مجذور ضلع مجهول (ضلع روبروی زاویه معلوم) | همیشه در سمت چپ تساوی قرار میگیرد. |
| $b^2 + c^2$ | مجموع مجذورهای دو ضلع دیگر | مشابه قسمت اصلی قضیه فیثاغورس است. |
| $- 2bc\cos(A)$ | تصحیحکننده برای زاویه غیر ۹۰ درجه | اگر $A=90^\circ$ باشد، $\cos(90^\circ)=0$ و این بخش حذف میشود و قضیه فیثاغورس بهدست میآید! |
حل گامبهگام دو نوع مسئله کلیدی
از این قضیه عموماً در دو حالت اصلی استفاده میشود:
حالت اول: پیدا کردن طول یک ضلع مجهول (وقتی دو ضلع و زاویه بین آنها معلوم است).
مثال: دو دوست، علی و بهروز، از یک نقطه شروع به راه رفتن میکنند. علی 500 متر به سمت شرق و بهروز 700 متر به سمت شمال شرقی (زاویه 45^\circ$ نسبت به شرق) راه میروند. فاصله مستقیم بین آنها چقدر است؟
$c^2 = 500^2 + 700^2 - 2 \times 500 \times 700 \times \cos(45^\circ)$
$c^2 \approx 250000 + 490000 - 700000 \times 0.7071$
$c^2 \approx 740000 - 494970 = 245030$
$c \approx \sqrt{245030} \approx 495$ متر.
حالت دوم: پیدا کردن اندازه یک زاویه مجهول (وقتی سه ضلع مثلث معلوم هستند).
مثال: در ساخت یک داربست مثلثی برای گلهای رونده، طول سه تیره آن به ترتیب 3، 4 و 5 متر است. میخواهیم زاویه روبروی تیره 3 متری را پیدا کنیم.
از فرمول بازآرایی شده استفاده میکنیم: $\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
با قرار دادن $a=3$، $b=4$، $c=5$:
$\cos(A) = \frac{4^2 + 5^2 - 3^2}{2 \times 4 \times 5} = \frac{16+25-9}{40} = \frac{32}{40} = 0.8$
بنابراین: $A = \cos^{-1}(0.8) \approx 36.87^\circ$.
کاربرد قضیه کسینوسها در دنیای واقعی
این قضیه فقط یک فرمول ریاضی نیست، بلکه یک ابزار حل مسئله در مشاغل و موقعیتهای مختلف است:
- مسیریابی و GPS: برای محاسبه کوتاهترین فاصله بین دو نقطه وقتی مسیرهای غیرمستقیم را میرویم. مثلاً وقتی یک کشتی از بندری به بندر دیگر نمیتواند مستقیم حرکت کند و باید زاویهای را طی کند.
- مهندسی عمران و ساختوساز: در محاسبه طول تیرهای نگهدارنده پلها یا سقفهای مثلثی (خرپاخرپا) و اطمینان از استحکام آنها.
- فیزیک: برای محاسبه برآیند دو نیرو که در یک زاویه به یک جسم وارد میشوند. بزرگی برآیند با استفاده از این قضیه قابل محاسبه است.
- نجوم: در مثلثات کروی برای محاسبه فاصلههای نجومی بین ستارهها.
- ورزش: یک مثال ساده: در بازی بیلیارد، برای پیشبینی مسیر برخورد توپها پس از ضربهای که کاملاً مستقیم نیست، میتوان از ایدههای مشابه استفاده کرد.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: قضیه سینوسها رابطه بین اضلاع و سینوس زاویههای روبرویشان را بیان میکند: $\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$.
از قضیه کسینوسها زمانی استفاده میکنیم که: ۱) دو ضلع و زاویه بین آنها (SAS) را داشته باشیم و بخواهیم ضلع سوم را پیدا کنیم. ۲) هر سه ضلع (SSS) را داشته باشیم و بخواهیم زاویهها را پیدا کنیم.
از قضیه سینوسها زمانی استفاده میکنیم که: ۱) یک ضلع و دو زاویه (ASA یا AAS) معلوم باشند. ۲) دو ضلع و یک زاویه روبروی یکی از آن ضلعها (SSA یا حالت مبهم) را داشته باشیم.
پاسخ: دلیل بنیادی به تعریف کسینوس در مثلث قائمالزاویه و تصویر بردارها برمیگردد. در اثبات این قضیه (با رسم ارتفاع) مشاهده میشود که طول ضلع مجهول تحت تأثیر «سهم» یا «تصویر» ضلعهای دیگر در راستای آن قرار میگیرد. این سهم دقیقاً با کسینوس زاویه بین آنها محاسبه میشود. کسینوس، رابطه بین ضلع مجاور و وتر را نشان میدهد و در اینجا نقش «عامل تصحیح» برای انحراف از حالت قائم (فیثاغورس) را ایفا میکند.
پاسخ:فراموش کردن منفی جلوی جمله کسینوس! این رایجترین خطاست. همیشه به یاد داشته باشید: مجذور ضلع = (مجموع مجذورها) - (دو برابر حاصلضرب در کسینوس). گذاشتن علامت مثبت به جای منفی، نتیجه را کاملاً اشتباه میکند. اشتباه دیگر، تنظیم نکردن ماشین حساب روی حالت درجه (Degree) به جای رادیان (Radian) هنگام محاسبه کسینوس یک زاویه بر حسب درجه است.
پاورقی
1قضیه کسینوسها (Law of Cosines): همچنین به نامهای قاعده کسینوس یا قانون کسینوس شناخته میشود.
2قضیه سینوسها (Law of Sines): رابطهای است که نسبت طول هر ضلع یک مثلث به سینوس زاویه مقابل آن ضلع، مقداری ثابت و برابر با قطر دایره محیطی مثلث است.
3خرپا (Truss): ساختاری صلب و سبکوزن از واحدهای مثلثی است که در مهندسی سازه برای پلها، سقفها و برجها استفاده میشود.
4SAS (Side-Angle-Side): به حالتی از معلوم بودن اجزای یک مثلث اشاره دارد که دو ضلع و زاویه بین آن دو معلوم باشند.
5SSS (Side-Side-Side): به حالتی اشاره دارد که طول هر سه ضلع مثلث معلوم باشد.
