چندضلعی محاطی: راز همنشینی دایره و شکلهای هندسی
چندضلعی محاطی دقیقاً چیست؟
تصور کنید یک دایره روی کاغذ بکشید. حالا چند نقطه روی خط دور این دایره انتخاب کنید و آنها را با پاره خطهایی به هم وصل کنید. شکلی که ساختهاید، یک چندضلعی محاطی است . به عبارت دیگر، اگر بتوانید دایرهای پیدا کنید که از تمام گوشههای (رأسهای) یک چندضلعی بگذرد، آن چندضلعی «محاطی» یا «دورانی» نام دارد و به آن دایره، دایره محیطی5 یا «محیطگذر» میگویند .
یک روش جالب برای تشخیص این شکلها این است: مرکز دایره محیطی دقیقاً نقطهای است که عمودمنصف6 تمام ضلعهای چندضلعی در آن یکدیگر را قطع میکنند . این نقطه از همه رأسها به یک فاصله (به اندازه شعاع دایره) است.
کدام شکلهای هندسی همیشه محاطی هستند؟
برخی از شکلهای آشنا، فارغ از اندازه اضلاع و زوایایشان، همواره میتوانند درون یک دایره محاط شوند. در جدول زیر مهمترین این شکلها و دلیل این ویژگی آمده است .
| نام شکل | تصویر ذهنی | دلیل محاطی بودن |
|---|---|---|
| مثلث (هر نوعی) | سادهترین شکل بسته | عمودمنصفهای سه ضلع هر مثلثی حتماً در یک نقطه (مرکز دایره محیطی) همرس میشوند . |
| مستطیل و مربع | چارگوشهای راستگوشه | قطرهای آنها هماندازه هستند و نقطه تقاطع قطرها، مرکز دایره محیطی است . |
| ذوزنقه متساویالساقین | ذوزنقهای با ساقهای برابر | به دلیل تقارن، عمودمنصفهای قاعدهها و ساقها در یک نقطه همرس میشوند . |
| چندضلعیهای منتظم | شکلهایی مثل پنجضلعی، ششضلعی و هشتضلعی منتظم | به دلیل تقارن کامل، مرکز تقارن شکل، مرکز دایره محیطی نیز هست . |
قضیه طلایی: رابطه زوایای مقابل در چهارضلعی محاطی
یکی از زیباترین و کاربردیترین قضایا درباره چهارضلعیهای محاطی، رابطه بین زوایای مقابل آنهاست. این قضیه میگوید:
به زبان ریاضی: اگر ABCD یک چهارضلعی محاطی باشد، آنگاه: $ \angle A + \angle C = 180^\circ $ و $ \angle B + \angle D = 180^\circ $.
این قضیه یک راه قدرتمند برای اثبات محاطی بودن یک چهارضلعی نیز هست. اگر در چهارضلعی دلخواهی دیدید که دو زاویه مقابل مکمل هم هستند، میتوانید مطمئن باشید که این چهارضلعی محاطی است . برای مثال، در مستطیل که تمام زوایا قائمه هستند، جمع هر دو زاویه مقابل میشود 90° + 90° = 180° که مطابق با این قضیه است.
از زمین فوتبال تا طراحی لوگو: کاربردهای ملموس
شاید فکر کنید چندضلعیهای محاطی فقط در کتابهای درسی وجود دارند، اما مثالهای زیادی از آنها در زندگی روزمره میبینیم:
- میدانهای ورزشی: خطکشی مستطیل زمین فوتبال یا بسکتبال را در نظر بگیرید. اگر دایرهای کامل بتواند از چهار گوشه این زمین بگذرد، این زمین یک مستطیل محاطی است. در واقع، نقطه مرکزی زمین، همان مرکز دایرهای فرضی است که گوشهها را به هم وصل میکند.
- معماری و طراحی: بسیاری از پنجرههای رز (دایرهای و پرتزیین) یا گنبدهای مساجد، از طرحهای چندضلعیهای منتظم محاطی در دایره الهام گرفتهاند. تقارن و زیبایی این شکلها باعث پایداری و جلوه بصری آنها میشود.
- آرمها و لوگوها: تعداد زیادی از لوگوهای معروف شرکتی، از یک شکل چندضلعی محاطی در دایره استفاده میکنند. این کار حس تعادل، کمال و اتحاد را به بیننده منتقل میکند.
- مکانیک و مهندسی: چرخدندهها اغلب به شکل چندضلعیهای منتظم (مثل ششضلعی) ساخته میشوند که در دایرهای محاط هستند. این طراحی باعث توزیع یکنواخت نیرو و چرخش بهتر میشود.
رابطه اضلاع با شعاع دایره در شکلهای منتظم
وقتی یک چندضلعی منتظم (با اضلاع و زوایای برابر) در دایره محاط میشود، رابطههای ریاضی جذاب و دقیقی بین طول ضلع شکل ($ l $) و شعاع دایره محیطی ($ r $) برقرار میشود . درک این روابط برای حل مساحت و محیط بسیار مفید است.
| شکل منتظم | رابطه بین ضلع (l) و شعاع (r) | نکات و مثال |
|---|---|---|
| مربع | $ l = r \sqrt{2} $ | این رابطه از قضیه فیثاغورث در مثلث قائمالهی که وتر آن قطر مربع است به دست میآید . اگر شعاع 5 سانتیمتر باشد، طول ضلع مربع $ 5\sqrt{2} \approx 7.07 $ سانتیمتر است. |
| ششضلعی منتظم | $ l = r $ | در ششضلعی منتظم، ضلع برابر با شعاع دایره محیطی است! زیرا ششضلعی را میتوان به 6 مثلث متساویالاضلاع تقسیم کرد . سادهترین رابطه ممکن. |
| مثلث متساویالاضلاع | $ l = r \sqrt{3} $ | این رابطه با استفاده از نسبتهای مثلثاتی در مثلثهای 30-60-90 به دست میآید . ضلع مثلث از شعاع دایره بزرگتر است. |
سؤالات رایج و اشتباهات متداول
پاسخ: خیر. شرط لازم و کافی برای محاطی بودن یک چهارضلعی محدب این است که مجموع زوایای مقابل آن برابر 180° باشد . برای مثال، یک لوزی معمولی (که مربع نباشد) این شرط را ندارد، بنابراین محاطی نیست.
پاسخ: این یک اشتباه رایج است. در چندضلعی محاطی، رأسهای شکل روی دایره قرار دارند . در حالی که در چندضلعی محیطی، اضلاع شکل بر دایره مماس هستند (دایره درون چندضلعی است) . برای به خاطر سپردن: در «محاطی»، دایره شکل را در بر گرفته (محیط شده). در «محیطی»، دایره درون شکل قرار دارد.
پاسخ: کافی است عمودمنصف دو تا از اضلاع مثلث را رسم کنید. نقطه برخورد این دو خط، همان مرکز دایرهای است که از سه رأس مثلث میگذرد (مرکز دایره محیطی) . این نقطه از هر سه رأس به یک فاصله است.
پاورقی
1چندضلعی (Polygon): یک شکل مسطح و بسته که از به هم پیوستن پارهخطها تشکیل شده است.
2محاطی (Inscribed): به حالتی گفته میشود که یک شکل هندسی درون شکل دیگری قرار گیرد به طوری که نقاط مشخصی از آن (مثل رأسها) بر محیط شکل دوم منطبق باشند .
3رأس (Vertex): نقطهای که دو ضلع از یک چندضلعی در آن به هم میرسند؛ گوشه شکل.
4چندضلعی دورانی (Cyclic Polygon): معادل دیگر چندضلعی محاطی.
5دایره محیطی (Circumcircle): دایرهای که از تمام رأسهای یک چندضلعی محاطی میگذرد .
6عمودمنصف (Perpendicular Bisector): خطی که یک پارهخط را در نقطه وسط آن قطع کرده و بر آن عمود است.
7همرس (Concurrent): به خطوط یا منحنیهایی گفته میشود که از یک نقطه مشترک بگذرند.
