قطاع دایره: یک قاچ از پیتزا تا کمان آسمان
قطاع دایره چیست؟ شناخت اجزا و ویژگیها
برای درک قطاع، ابتدا باید اجزای اصلی آن را بشناسیم. فرض کنید یک دایره کامل داریم، مانند یک پیتزای گرد. اگر از مرکز پیتزا دو برش مستقیم به سمت لبه آن بزنیم، قسمتی که جدا میشود، یک قطاع است.
| نام جزء | توضیح | نماد/واحد |
|---|---|---|
| شعاع | فاصله مرکز دایره تا هر نقطه روی محیط. در قطاع، دو ضلع مستقیم آن، شعاع هستند. | r |
| زاویه مرکزی | زاویهای که راس آن در مرکز دایره است و دو شعاع قطاع، ضلعهای آن را تشکیل میدهند. اندازه این زاویه، سهم قطاع از دایره کامل را نشان میدهد. | θ (بازه) |
| کمان | قسمت خمیدهٔ قطاع که روی محیط دایره قرار دارد. طول این کمان با زاویه مرکزی نسبت مستقیم دارد. | L |
روشهای محاسبه مساحت و طول کمان قطاع
محاسبه مساحت و طول کمان قطاع، بر اساس نسبت زاویه مرکزی آن به کل دایره انجام میشود. این نسبت ساده، کلید حل مسئله است.
۱. طول کمان (L): $L = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r = \frac{\theta}{180} \times \pi r$
(وقتی θ بر حسب درجه باشد)
۲. مساحت قطاع (A): $A = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2$
(وقتی θ بر حسب درجه باشد)
مثال کاربردی ۱ (طول کمان): فرض کنید یک زمین بازی دایرهای به شعاع 21 متر داریم. میخواهیم بخشی از محیط آن را با رنگ مشخص کنیم که زاویه مرکزی آن 60 درجه است. طول این بخش چقدر است؟
با استفاده از فرمول طول کمان:
$L = \frac{60}{360} \times 2 \times \pi \times 21 = \frac{1}{6} \times 42\pi = 7\pi$
متر. یعنی تقریباً 22 متر (چون $\pi \approx 3.14$).
مثال کاربردی ۲ (مساحت): یک پیتزا به قطر 40 سانتیمتر (r = 20 سانتیمتر) را بین ۶ نفر به طور مساوی تقسیم میکنیم. مساحت قطعه پیتزای هر نفر چقدر است؟
زاویه مرکزی هر قطعه: $\frac{360}{6} = 60^\circ$.
مساحت هر قطاع: $A = \frac{60}{360} \times \pi \times 20^2 = \frac{1}{6} \times 400\pi \approx \frac{1}{6} \times 1256 \approx 209.3$
سانتیمتر مربع.
از چرخ دنده تا نمودار کلوچهای: کاربردهای قطاع در اطراف ما
قطاع دایره فقط یک مفهوم کتابی نیست. با نگاه دقیقتر، آن را در بسیاری از وسایل و موقعیتها میبینیم:
- ساعتهای آنالوگ: عقربه ساعتشمار و دقیقهشمار در هر لحظه یک زاویه مرکزی میسازند. فاصله بین هر عدد روی ساعت، یک قطاع 30 درجه است ($360/12 = 30$).
- نمودارهای کلوچهای (پای چارت)5: این نمودارهای آماری پرکاربرد، برای نمایش سهم بخشهای مختلف از یک کل استفاده میکنند. هر بخش، در واقع یک قطاع دایره است که مساحت آن متناسب با سهم آن داده است.
- طراحی و معماری: پنجرههای گرد و نورگیرهای سقفی، گاهی به شکل چند قطاع زیبا طراحی میشوند. در طراحی بعضی از زمینهای ورزشی یا میادین، از مفهوم قطاع برای علامتگذاری مناطق مختلف استفاده میشود.
- مهندسی: شکل برخی چرخدندهها یا صفحههای درجهبندی شده، بر اساس قطاع طراحی شدهاند.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. این دو اشتباه گرفته میشوند. قطاع مانند یک قاچ پیتزا است که تا مرکز دایره ادامه دارد (شامل دو شعاع). اما قطعه مانند قسمتی از پیتزا است که فقط لبه آن خورده شده است؛ یعنی ناحیهای بین یک کمان و یک وتر6 که از مرکز نمیگذرد.
پاسخ: مساحت دایره با مربع شعاع ($r^2$) رابطه مستقیم دارد. بنابراین اگر شعاع دو برابر شود، مساحت کل دایره ۴ برابر میشود. از آنجایی که قطاع هم سهم ثابتی از دایره است، مساحت آن قطاع نیز دقیقاً ۴ برابر خواهد شد.
پاسخ: میتوان از فرمول دیگری استفاده کرد که نیاز به زاویه ندارد: $A = \frac{1}{2} \times L \times r$. این فرمول از ترکیب فرمولهای اصلی به دست میآید و بسیار کاربردی است. مثلاً اگر طول کمان 10 سانتیمتر و شعاع 5 سانتیمتر باشد، مساحت برابر است با: $A = \frac{1}{2} \times 10 \times 5 = 25$ سانتیمتر مربع.
- قطاع دایره، ناحیهای است بین دو شعاع و کمان مقابل آنها.
- کلید محاسبات قطاع، نسبت زاویه مرکزی آن ($\theta$) به زاویه کل دایره (360 درجه یا $2\pi$ رادیان) است.
- دو فرمول اصلی برای طول کمان ($L = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r$) و مساحت ($A = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2$) وجود دارد.
- فرمول جایگزین مساحت وقتی طول کمان معلوم است: $A = \frac{1}{2} L r$.
- این مفهوم در زندگی واقعی، از نمودارها تا طراحی و حتی تقسیم غذا کاربرد گستردهای دارد.
پاورقی
1قطاع دایره (Sector of a Circle): بخشی از دایره که توسط دو شعاع و یک کمان محصور شده است.
2کمان (Arc): بخشی از محیط دایره.
3قطعه دایره (Segment of a Circle): ناحیهای از دایره که توسط یک کمان و یک وتر (خط راست بین دو نقطه روی دایره) محدود شده است.
4زاویه مرکزی (Central Angle): زاویهای که راس آن در مرکز دایره قرار دارد.
5نمودار کلوچهای (Pie Chart): نوعی نمودار آماری که دادهها را به صورت قطاعهای یک دایره نمایش میدهد.
6وتر (Chord): پاره خطی که دو نقطه روی دایره را به هم وصل میکند.
