قضیهٔ زاویهٔ محاطی: زاویهٔ محاطی نصف کمان مقابل است.

قضیهٔ زاویهٔ محاطی: زیبایی هندسی در جهان اطراف ما

پایه‌های لازم: دایره، کمان و انواع زاویه

برای درک قضیه، ابتدا باید با چند مفهوم آشنا شویم. یک دایره مجموعه‌ای از نقاط است که فاصله‌شان از یک نقطهٔ ثابت (مرکز دایره¹) یکسان است. اگر دو نقطه روی دایره را به هم وصل کنیم، یک وتر به دست می‌آید. حالا بخشی از محیط دایره را که بین این دو نقطه قرار دارد، یک کمان می‌نامیم. اندازه‌گیری کمان‌ها بر حسب درجه انجام می‌شود. کل دایره 360 درجه است.

سه نوع زاویهٔ مهم در دایره داریم:

بیان و اثبات گام‌به‌گام قضیه

قضیه زاویه محاطی می‌گوید: اندازهٔ هر زاویهٔ محاطی در یک دایره، برابر با نصف اندازهٔ کمان مقابل آن است. کمان مقابل، کمانی است که بین دو ضلع زاویه قرار ندارد.

برای درک بهتر، قضیه را در سه حالت متفاوت بررسی می‌کنیم. در همهٔ این حالات از یک اصل کلیدی استفاده می‌کنیم: در یک مثلث، اندازهٔ یک زاویهٔ خارجی برابر است با مجموع دو زاویهٔ داخلی غیرمجاور آن.

حالت اول: یکی از ضلع‌های زاویهٔ محاطی، قطر دایره است. شکل زیر را در نظر بگیرید. می‌خواهیم ثابت کنیم $\angle ACB = \frac{1}{2} \widehat{AB}$.

مرکز دایره را $O$ می‌نامیم. مثلث $AOC$ متساوی‌الساقین است (چون $OA$ و $OC$ هر دو شعاع هستند). پس $\angle OAC = \angle OCA$. می‌دانیم $\angle AOC$ یک زاویه مرکزی روبروی کمان $AC$ است. در مثلث $AOC$، زاویهٔ خارجی $\angle AOB$ برابر است با مجموع دو زاویه داخلی غیرمجاورش: $\angle OAC + \angle OCA$. از آنجا که این دو زاویه با هم برابرند، نتیجه می‌گیریم $\angle AOB = 2 \times \angle OCA$. اما $\angle OCA$ همان $\angle ACB$ است و $\angle AOB$ نیز زاویه مرکزی مقابل کمان $AB$ است. پس $\widehat{AB} = 2 \times \angle ACB$ یا $\angle ACB = \frac{1}{2} \widehat{AB}$.

حالت‌های دیگر (وقتی مرکز دایره داخل زاویهٔ محاطی است یا خارج از آن) را می‌توان با رسم یک قطر کمکی و استفاده از حالت اول و خاصیت جمع زاویه‌ها اثبات کرد.

حل مسئله: از فرمول تا جواب نهایی

بیایید با یک مثال، استفاده از این قضیه را تمرین کنیم.

مثال: در شکل زیر، اندازهٔ کمان $BC$ برابر 80 درجه و اندازهٔ کمان $AC$ برابر 120 درجه است. اندازهٔ زاویهٔ $\angle ABC$ را بیابید.

گام اول: شناسایی زاویهٔ محاطی. زاویهٔ $\angle ABC$ یک زاویه محاطی است که رأس آن $B$ روی دایره قرار دارد.

گام دوم: یافتن کمان مقابل. کمان مقابل $\angle ABC$، کمان $AC$ است (کمانی که بین دو ضلع $BA$ و $BC$ قرار ندارد). اندازهٔ این کمان داده شده: 120 درجه.

گام سوم: اعمال قضیه. طبق قضیه زاویه محاطی داریم: $\angle ABC = \frac{1}{2} \widehat{AC} = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ$.

پاسخ: اندازهٔ زاویهٔ $\angle ABC$ برابر 60 درجه است. دقت کنید که کمان $BC$ در این محاسبه استفاده نشد. این کمان مقابل زاویهٔ دیگری است.

کاربردهای شگفت‌انگیز در دنیای واقعی

شاید فکر کنید این قضیه فقط در کتاب‌های درسی کاربرد دارد، اما مثال‌های جالبی از آن در اطراف ما وجود دارد:

1. طراحی چرخ و پنجره‌های گرد: در طراحی پره‌های چرخ دوچرخه یا پنجره‌های مدور قدیمی، برای ایجاد تقارن و استحکام، اغلب از چندضلعی‌های منتظم محاط در دایره استفاده می‌شود. زوایای این چندضلعی‌ها همگی زاویه محاطی هستند. طراح با استفاده از این قضیه می‌تواند زوایای دقیق اتصال پره‌ها به رینگ را محاسبه کند تا فشار به طور مساوی توزیع شود.

2. در ورزش: فرض کنید یک بازیکن فوتبال در نقطه $C$ (روی محیط دایرهٔ جریمه) ایستاده و دروازه (قطر $AB$) را می‌بیند. زاویهٔ دید او یک زاویه محاطی است. طبق قضیه، این زاویه برای همهٔ نقاط روی کمانی ثابت که از $A$ و $B$ می‌گذرد، یکسان است! این همان قضیهٔ کمان ثابت است که از نتایج زیبای زاویه محاطی است.

3. ناوبری و نقشه‌برداری: در روش‌های سنتی تعیین موقعیت، اگر دو نقطهٔ ثابت $A$ و $B$ (مثل دو کوه یا دو برج) را ببینید و زاویهٔ بین آنها را اندازه بگیرید، در واقع روی کمانی از یک دایره خاص قرار دارید. این اصل در مثلث‌بندی استفاده می‌شود.

پرسش‌های مهم و اشتباهات رایج

پاورقی

1. مرکز دایره (Center of Circle): نقطه‌ای ثابت در فاصلهٔ یکسان از تمام نقاط روی محیط دایره.
2. زاویه محاطی (Inscribed Angle): زاویه‌ای که رأس آن بر روی محیط دایره قرار دارد و ضلع‌هایش دو وتر از همان دایره هستند.
3. زاویه ظلّی (Tangent-Chord Angle): زاویه‌ای که رأس آن روی محیط دایره است، یک ضلع آن مماس بر دایره و ضلع دیگرش یک وتر از دایره است.