طرفین و وسطین در تناسب عددی
تناسب عددی چیست و اجزای آن کداماند؟
تناسب، بیان برابری بین دو نسبت1 است. اگر دو نسبت با هم برابر باشند، یک تناسب تشکیل میدهند. به زبان ریاضی، اگر $a$، $b$، $c$ و $d$ چهار عدد باشند و داشته باشیم: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$، آنگاه میگوییم این چهار عدد یک تناسب میسازند.
برای مثال، فرض کنید برای درست کردن شربت، به ازای هر 2 لیوان آب، 1 لیوان شکر لازم است. این یک نسبت است: $\frac{شکر}{آب} = \frac{1}{2}$. حال اگر بخواهیم 6 لیوان آب استفاده کنیم، چقدر شکر لازم داریم؟ با تشکیل تناسب $\frac{1}{2} = \frac{?}{6}$ و استفاده از قانون طرفین و وسطین، جواب 3 لیوان شکر بهدست میآید.
| تناسب (به صورت کسر) | طرفین (a و d) | وسطین (b و c) | بررسی تساوی $a \times d = b \times c$ |
|---|---|---|---|
| $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$ | 3 و 8 | 4 و 6 | 3 × 8 = 24 و 4 × 6 = 24برقرار است |
| $\frac{5}{2} = \frac{10}{4}$ | 5 و 4 | 2 و 10 | 5 × 4 = 20 و 2 × 10 = 20برقرار است |
| $\frac{2}{7} = \frac{8}{28}$ | 2 و 28 | 7 و 8 | 2 × 28 = 56 و 7 × 8 = 56برقرار است |
چگونه با قانون طرفین و وسطین مجهول را پیدا کنیم؟
کاربرد اصلی این قانون، یافتن یک عدد مجهول در یک تناسب است. مراحل کار بسیار ساده است:
گام اول: شناسایی اجزای تناسب و مشخص کردن مجهول (مثلاً $x$).
گام دوم: نوشتن تساوی حاصل ضرب طرفین و وسطین.
گام سوم: حل معادله ساده ضربی برای پیدا کردن $x$.
مثال عینی: در یک نقشه با مقیاس 1:20000، فاصله بین دو نقطه 4 سانتیمتر است. فاصله واقعی این دو نقطه چند متر است؟
مقیاس یعنی نسبت طول روی نقشه به طول واقعی: $\frac{1}{20000} = \frac{4}{x}$ که در آن $x$ طول واقعی بر حسب سانتیمتر است.
حالا طرفین و وسطین میگیریم: 1 × x = 20000 × 4.
پس x = 80000 سانتیمتر یا 800 متر.
کاربرد تناسب و قانون طرفین و وسطین در زندگی روزمره
این مفهوم فقط در کتاب ریاضی نیست، بلکه بخشی از تصمیمگیریهای روزانه ماست.
۱. آشپزی و تغییر اندازه دستور غذا: اگر دستور پخت کیک برای 6 نفر نیاز به 3 تخم مرغ داشته باشد، برای 10 نفر چند تخم مرغ لازم است؟ تناسب: $\frac{6}{3} = \frac{10}{x}$. با حل آن به جواب 5 تخم مرغ میرسیم.
۲. خرید و مقایسه قیمت: اگر 500 گرم از یک کالا 15000 تومان باشد، قیمت 750 گرم آن چقدر است؟ تناسب: $\frac{500}{15000} = \frac{750}{x}$.
۳. محاسبه درصد و تخفیف: اگر یک لباس 20 درصد تخفیف داشته باشد و قیمت نهایی آن 80000 تومان باشد، قیمت اولیه چقدر بوده است؟ میتوان گفت: $\frac{80}{100} = \frac{80000}{x}$ زیرا پس از 20% تخفیف، 80% قیمت پرداخت شده است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: بله، ترتیب بسیار مهم است. در تناسب $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$، $a$ و $b$ از یک نسبت و $c$ و $d$ از نسبت دیگرند. اگر به اشتباه بنویسیم $\frac{a}{b} = \frac{d}{c}$، قانون طرفین و وسطین به شکل $a \times c = b \times d$ درمیآید که لزوماً با حالت اول یکسان نیست. همیشه باید مطمئن شوید که اجزای متناظر در مکان صحیح قرار گرفتهاند.
پاسخ: در تناسبی که سه جزء آن مشخص باشد، مقدار جزء چهارم بهطور یکتا و قطعی بهدست میآید. این یکی از ویژگیهای مهم تناسب است. برای مثال در $\frac{3}{4} = \frac{x}{12}$، فقط و فقط $x=9$ میتواند قرار گیرد تا تساوی برقرار باشد.
پاسخ: خیر. تناسب میتواند بین هر نوع عددی (کسر، اعشار، درصد) برقرار باشد. مهم برابری دو نسبت است. مثلاً $\frac{1.5}{3} = \frac{0.5}{1}$ یک تناسب معتبر است زیرا $1.5 \times 1 = 3 \times 0.5$.
پاورقی
1نسبت2 (Ratio): مقایسهٔ دو کمیت از طریق تقسیم. برای مثال نسبت آقایان به بانوان در یک کلاس.
2تناسب (Proportion): برابری دو نسبت.
طرفین (Extremes): در تناسب $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$، به اعداد $a$ و $d$ که در دو انتهای تساوی قرار دارند، طرفین میگویند.
وسطین (Means): در تناسب $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$، به اعداد $b$ و $c$ که در وسط قرار گرفتهاند، وسطین میگویند.
