چهارضلعی محدب: از شکلهای ساده تا فرمولهای پیچیده
چهارضلعی محدب دقیقاً چیست؟
بیایید با یک آزمایش ساده شروع کنیم. یک کاغذ بردارید و چهار نقطه روی آن بگذارید به طوری که وقتی آنها را با خط راست به هم وصل میکنید، شکل ایجاد شده شبیه یک 4-ضلعی معمولی (مثلاً مربع یا ذوزنقه) شود. حالا سعی کنید یکی از نقطهها را به داخل شکل بکشید. چه میبینید؟ شکلی ایجاد میشود که یک یا دو زاویهی آن به نظر میرسد "فرو رفته" یا "تو رفته" است. به چنین شکلی که دارای زاویهی داخلی بزرگتر از 180^\circ باشد، چهارضلعی مقعر1 میگویند. نقطهی مقابل آن، چهارضلعی محدب2 است.
در یک چهارضلعی محدب، اگر هر دو نقطه از داخل شکل را با یک پارهخط به هم وصل کنید، آن پارهخط کاملاً درون شکل قرار میگیرد. همچنین، تمام قطرهای آن (پارهخطهایی که رأسهای رو به رو را به هم وصل میکنند) در داخل شکل قرار دارند.
انواع چهارضلعیهای محدب و رابطه خانوادگی آنها
چهارضلعیهای محدب خانوادهی بسیار بزرگی هستند. برخی از اعضای خاص و معروف این خانواده در جدول زیر معرفی شدهاند. این جدول به شما کمک میکند ویژگیهای مشترک و تفاوتهای آنها را ببینید.
| نام شکل | تعریف و ویژگیهای کلیدی | مساحت (مثال) |
|---|---|---|
| ذوزنقه3 | حداقل دو ضلع موازی دارد. به اضلاع موازی قاعده میگویند. |
$A = \frac{(a+b) \times h}{2}$ a,b: قاعدهها, h: ارتفاع |
| متوازیالاضلاع4 | هر دو جفت ضلع مقابل موازی و مساوی هستند. زوایای مقابل مساویند. |
$A = b \times h$ b: قاعده, h: ارتفاع |
| لوزی5 | یک متوازیالاضلاع با چهار ضلع مساوی. قطرها بر هم عمودند. |
$A = \frac{d_1 \times d_2}{2}$ d: طول قطرها |
| مستطیل | یک متوازیالاضلاع با چهار زاویه قائمه (90^\circ). |
$A = l \times w$ l: طول, w: عرض |
| مربع | یک مستطیل با چهار ضلع مساوی. کاملترین عضو خانواده است! |
$A = s^2$ s: طول ضلع |
همانطور که میبینید، مربع خاص مستطیل، مستطیل خاص متوازیالاضلاع و متوازیالاضلاع خاص ذوزنقه است. همهی این شکلها، چهارضلعی محدب هستند.
فرمولهای بنیادی و قضایای مهم
برای کار با چهارضلعیهای محدب، چند قانون کلی وجود دارد که برای همه آنها صادق است، فارغ از این که چه نامی دارند.
مجموع اندازهی زاویههای داخلی هر چهارضلعی (محدب یا مقعر) برابر است با $360^\circ$.
یادگیری گامبهگام: یک چهارضلعی را با یک قطر به دو مثلث تقسیم کنید. مجموع زوایای هر مثلث $180^\circ$ است. پس $180^\circ \times 2 = 360^\circ$.
مثال: در یک چهارضلعی، اندازهی سه زاویه به ترتیب $85^\circ$، $110^\circ$ و $70^\circ$ است. اندازهی زاویهی چهارم چقدر است؟
جواب: $360 - (85+110+70) = 360 - 265 = 95^\circ$.
مجموع اندازهی زاویههای خارجی هر چهارضلعی محدب (که با ادامه دادن هر ضلع به یک سمت ایجاد میشوند) نیز همیشه برابر $360^\circ$ است. این قضیه برای همهی چندضلعیهای محدب صادق است.
محاسبه مساحت: از ساده تا پیشرفته
برای محاسبه مساحت چهارضلعیهای محدب خاص (مثل مربع یا لوزی) فرمول سادهای داریم. اما برای یک چهارضلعی محدب با شکل نامنظم (که در خانوادهی بالا نباشد) چه کنیم؟ دو روش متداول وجود دارد:
روش اول: تقسیم به مثلث
یک قطر چهارضلعی را رسم کنید. آن را به دو مثلث تقسیم میکند. مساحت هر مثلث را با داشتن قاعده و ارتفاع یا با فرمول هرون محاسبه کنید. مجموع مساحت این دو مثلث، مساحت چهارضلعی است.
$A_{total} = A_1 + A_2$.
روش دوم: فرمول برتشمید6 (برای سطح دبیرستان)
اگر طول چهار ضلع و اندازهی یکی از زوایای بین دو ضلع را بدانیم، میتوانیم از این فرمول استفاده کنیم:
$A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cdot \cos^2(\frac{\theta}{2})}$
که در آن $s = \frac{a+b+c+d}{2}$ نصف محیط است و $\theta$ اندازهی زاویه بین دو ضلع به طول $a$ و $b$ است.
چهارضلعیهای محدب در زندگی روزمره و معماری
به اطراف خود نگاه کنید. بسیاری از سطوح و طرحها بر اساس چهارضلعیهای محدب ساخته شدهاند. کاشیهای مربع یا مستطیل شکل کف اتاق شما، شیشهی پنجرههای معمولی، صفحهی تلویزیون، درب یخچال، برگهی A4، و حتی طرح بسیاری از میزها همگی نمونههایی از چهارضلعی محدب هستند.
در معماری، استفاده از این شکلها به دلیل سادگی، استحکام و قابلیت چیدمان در کنار هم (بدون فاصله) بسیار رایج است. ذوزنقه در طراحی برخی پلها و سقفها برای توزیع بهتر نیرو استفاده میشود. همچنین، یک چهارضلعی محدب به نام مستطیل طلایی7 (که نسبت طول به عرض آن معادل عدد طلایی است) در طراحی نمای بسیاری از بناهای تاریخی و حتی کارتهای اعتباری مدرن دیده میشود، چرا که از نظر زیباییشناختی دلپذیرتر به نظر میرسد.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
بله، حتماً محدب است. اما عکس آن درست نیست. یک چهارضلعی محدب میتواند زاویهی باز (بزرگتر از ۹۰ و کوچکتر از ۱۸۰ درجه) هم داشته باشد، مثل یک ذوزنقه. شرط محدب بودن فقط کمتر بودن زاویه از ۱۸۰ درجه است، نه ۹۰ درجه.
بله، کاملاً ممکن است. به چنین چهارضلعیای که نه ضلع موازی دارد، نه زوایای قائمه و نه اضلاع مساوی، متوازیالاضلاع نامنظم یا یک چهارضلعی محدب نامشخص میگویند. این شکلها همچنان تمام ویژگیهای کلی (مانند مجموع زوایای ۳۶۰ درجه) را دارند.
۱. همیشه داخل شکل قرار دارند. (این مهمترین ویژگی تشخیص از مقعر است).
۲. همدیگر را قطع میکنند (در یک نقطه داخل شکل).
۳. در گونههای خاص، ویژگیهای بیشتری دارند: در مستطیل با هم مساویند، در لوزی بر هم عمودند و در مربع هر دو ویژگی را دارند.
پاورقی
1 چهارضلعی مقعر: Concave Quadrilateral. چهارضلعی که حداقل یک زاویهی داخلی بزرگتر از ۱۸۰ درجه دارد و حداقل یکی از قطرهایش در خارج از شکل قرار میگیرد.
2 چهارضلعی محدب: Convex Quadrilateral. موضوع اصلی این مقاله.
3 ذوزنقه: Trapezoid (US) / Trapezium (UK).
4 متوازیالاضلاع: Parallelogram.
5 لوزی: Rhombus.
6 فرمول برتشمید: Bretschneider's Formula. فرمولی کلی برای محاسبه مساحت یک چهارضلعی با داشتن چهار ضلع و دو زاویه مقابل.
7 مستطیل طلایی: Golden Rectangle. مستطیلی که نسبت طول به عرض آن برابر با عدد طلایی ($\phi \approx 1.618$) است.
