رابطهٔ شگفتانگیز کره و استوانه
کشف ارشمیدس: رابطهای که بر مقبرهاش حک شد
ارشمیدس، دانشمند بزرگ یونانی، یکی از درخشانترین کشفیات خود را بررسی رابطهی بین کره و استوانه میدانست. او ثابت کرد که اگر یک کره را دقیقاً داخل یک استوانه قرار دهیم، به طوری که قطر کره با قطر و ارتفاع استوانه برابر باشد، یک رابطهی حجمی بسیار زیبا و ثابت بین آنها برقرار است. این کشف آنقدر برای او مهم بود که وصیت کرد نماد یک کره درون یک استوانه بر سنگ قبرش حک شود.
اما این استوانهٔ خاص چه ویژگیهایی دارد؟ بیایید اول شکلها را دقیقتر تعریف کنیم:
- کره: یک جسم سهبعدی کاملاً گرد مانند یک توپ بیعیب و نقص. همهٔ نقاط روی سطح آن از مرکزش فاصلهی یکسانی دارند. به این فاصله، شعاع میگوییم.
- استوانهٔ محیط بر کره: استوانهای استوانهای است که کره را دقیقاً لمس میکند. در این حالت ارتفاع استوانه دقیقاً برابر با قطر کره (دو برابر شعاع) است و شعاع قاعدهٔ استوانه نیز با شعاع کره برابر است. تصور کنید یک توپ پینگپنگ را داخل یک استوانهٔ مقوایی بگذارید که ته و درش کاملاً بسته است و توپ به دیوارهها، کف و سقف استوانه چسبیده است.
حجم کره = $ V_{sphere} = \frac{4}{3} \pi r^{3} $
حجم استوانه = $ V_{cylinder} = \pi r^{2} \times height = \pi r^{2} \times (2r) = 2 \pi r^{3} $
با مقایسهی دو حجم به رابطهٔ ساده و زیبای زیر میرسیم:
$ V_{sphere} = \frac{2}{3} V_{cylinder} $
یا به عبارت دیگر: حجم کره، دو سوم حجم استوانهای است که آن را کاملاً در بر گرفته است.
مقایسهای بصری: اعداد و ارقام به کمک ما میآیند
برای درک بهتر این نسبت $\frac{2}{3}$ یا حدود 66.7%، فرض کنید یک استوانه داریم که میتواند دقیقاً 300 سانتیمتر مکعب آب در خود جای دهد. اگر یک کرهی کاملاً هماندازه با این استوانه (با شرایط گفته شده) داشته باشیم، این کره فقط 200 سانتیمتر مکعب ظرفیت دارد. جدول زیر این مقایسه را برای شعاعهای مختلف به وضوح نشان میدهد.
| شعاع (r) | حجم کره $\frac{4}{3} \pi r^{3}$ |
حجم استوانه محیطبر $2 \pi r^{3}$ |
نسبت (کره به استوانه) | توضیح (مثال ملموس) |
|---|---|---|---|---|
| 1 cm | حدود 4.19 cm³ | حدود 6.28 cm³ | 2/3 ≈ 0.667 | حجم یک تیلهٔ کوچک در مقایسه با فضای استوانهای که آن را محصور کرده. |
| 5 cm | حدود 523.6 cm³ | حدود 785.4 cm³ | 2/3 ≈ 0.667 | یک توپ پرتابی کوچک در داخل یک قوطی استوانهای دقیقاً هماندازه. |
| 10 cm | حدود 4189 cm³ | حدود 6283 cm³ | 2/3 ≈ 0.667 | یک توپ والیبال در داخل یک مخزن استوانهای مناسب. این نسبت همیشه ثابت است. |
از آزمایشگاه تا زندگی: کاربردهای عملی یک رابطهٔ ریاضی
شاید بپرسید این رابطه به چه درد زندگی روزمره میخورد؟ این ایده در طراحی و محاسبات به ظاهر ساده اما مهم کاربرد دارد.
مثال ۱: بستهبندی هوشمند تصور کنید قرار است یک توپ پلاستیکی را در یک جعبهٔ استوانهای بفروشید. اگر بدانید حجم توپ دو سوم حجم جعبه است، میتوانید به راحتی مقدار مواد لازم برای تولید جعبه (مقوا یا پلاستیک) و همچنین فضای خالی داخل بسته را تخمین بزنید. این به بهینهسازی مصرف مواد و کاهش هزینه کمک میکند.
مثال ۲: محاسبهٔ حجم مایع در مخازن برخی مخازن نگهداری مایعات به شکل استوانه هستند. اگر یک سنسور کروی برای اندازهگیری داخل آن قرار دهید، با دانستن این رابطه و حجم کلی مخزن، میتوان حجمی از مخزن را که توسط سنسور اشغال نشده (و برای مایع آزاد است) سریعتر محاسبه کرد.
مثال ۳: درک بهتر فضا این رابطه به ما کمک میکند تا به صورت شهودی حجم یک کره را تصور کنیم. وقتی میگوییم حجم یک توپ فوتبال دو سوم حجم استوانهای است که دورتادور آن را گرفته، درک میکنیم که کره چقدر فشرده و بهینه است و فضای "خالی" کمتری در مقایسه با استوانه دارد.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. این رابطه تنها زمانی دقیقاً برقرار است که استوانه، محیط بر کره باشد؛ یعنی ارتفاع استوانه برابر قطر کره و شعاع قاعدهٔ آن برابر شعاع کره باشد. اگر اندازهها متفاوت باشند، این نسبت $\frac{2}{3}$ نخواهد بود.
پاسخ: بله! ارشمیدس کشف شگفتانگیز دیگری هم کرد: مساحت سطح کره، دقیقاً برابر با مساحت سطح جانبی همان استوانهٔ محیطبر است. یعنی اگر همان استوانهای که کره را در بر گرفته، بدون درپوش باشد، مساحت کاغذی که دور آن میپیچد (مساحت جانبی) با مساحت پوست یک توپ کروی هماندازه، برابر است. فرمول آن این است: مساحت کره = $ 4\pi r^{2} $ و مساحت جانبی استوانه = $ 2\pi r \times height = 2\pi r \times (2r) = 4\pi r^{2} $.
پاسخ: اهمیت آن در ثابت بودن این نسبت است. بدون توجه به اینکه توپ شما به اندازهٔ یک گوی کوچک است یا به بزرگی یک سیاره، اگر آن را در استوانهٔ متناظر قرار دهید، همیشه حجم کره دو سوم حجم استوانه خواهد بود. این ثبات در ریاضیات بسیار ارزشمند است و نشاندهندهٔ یک حقیقت بنیادی دربارهٔ این دو شکل است.
پاورقی
1کره (Sphere): یک جسم هندسی کاملاً گرد سهبعدی که تمام نقاط سطح آن از یک نقطهٔ داخلی به نام مرکز، فاصلهٔ یکسانی (شعاع) دارند.
2استوانه (Cylinder): یک جسم هندسی سهبعدی با دو قاعدهٔ دایرهای هماندازه و موازی و یک سطح جانبی منحنی.
3مساحت سطح (Surface Area): مجموع مساحت تمام وجهها یا سطوح خارجی یک جسم سهبعدی.
