کسرهای غیرقابل سادهسازی: سادهترین شکل ممکن
کسر غیرقابل سادهسازی چیست؟ (تعریف پایه)
فرض کنید یک پیتزا دارید که به 8 تکه مساوی تقسیم شده است. اگر شما 4 تکه از آن را بخورید، چه کسری از پیتزا خورده شده است؟ جواب میشود $\frac{4}{8}$. اما آیا این سادهترین شکل کسر است؟ خیر. میتوان هر دو عدد 4 و 8 را بر 4 تقسیم کرد و به کسر $\frac{1}{2}$ رسید. اینجا $\frac{1}{2}$ یک کسر غیرقابل سادهسازی است چون 1 و 2 به جز عدد 1، هیچ عامل مشترکی ندارند.
چگونه یک کسر را به شکل غیرقابل سادهسازی تبدیل کنیم؟
برای ساده کردن کامل یک کسر و تبدیل آن به شکل غیرقابل سادهسازی، دو روش اصلی وجود دارد:
- تقسیم متوالی بر مقسومعلیههای مشترک: صورت و مخرج را تا جایی که ممکن است بر اعداد مشترک تقسیم میکنیم. بهتر است از بزرگترین مقسومعلیه شروع کنیم.
- استفاده از بزرگترین مقسومعلیه مشترک (GCD):GCD صورت و مخرج را پیدا کرده، سپس هر دو را بر آن تقسیم میکنیم.
| مرحله | روش تقسیم متوالی | روش استفاده از GCD | نتیجه |
|---|---|---|---|
| 1 | کسر $\frac{24}{36}$ را در نظر بگیرید. هر دو بر 2 بخشپذیرند. | مقسومعلیههای 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 مقسومعلیههای 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 |
- |
| 2 | تقسیم بر 2: $\frac{24 \div 2}{36 \div 2} = \frac{12}{18}$ | بزرگترین مقسومعلیه مشترک: 12 است. | - |
| 3 | حاصل $\frac{12}{18}$ را دوباره بر 2 تقسیم نمیکنیم، اما بر 6 میتوانیم تقسیم کنیم: $\frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$ | حالا هر دو را بر GCD یعنی 12 تقسیم میکنیم: $\frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}$ | $\frac{2}{3}$ |
| 4 | بررسی نهایی: آیا 2 و 3 عامل مشترکی دارند؟ خیر. | بررسی نهایی: gcd(2, 3) = 1 | غیرقابل سادهسازی |
کاربرد کسرهای ساده شده در زندگی روزمره
شاید بپرسید این موضوع ریاضی چه کاربردی دارد؟ پاسخ در همه جا است! وقتی در یک دستور آشپزی میخوانید $\frac{3}{4}$ پیمانه آرد لازم است، این کسر از قبل ساده شده است. اما اگر بخواهید نصفِ دستور را بپزید، باید کسرها را محاسبه کنید. اگر در دستور اصلی $\frac{6}{8}$ پیمانه شیر لازم بود، نصف آن میشود $\frac{3}{4}$ پیمانه. اگر کسر $\frac{6}{8}$ را ساده نکنید، ممکن است با پیمانههای 1/8 سر و کار داشته باشید که کار را سخت میکند، در حالی که $\frac{3}{4}$ به راحتی با یک پیمانهی سهچهارم قابل اندازهگیری است.
مثال دیگر در تقسیم زمین است. اگر زمینی بین دو نفر به نسبت $\frac{100}{150}$ تقسیم شود، با ساده کردن به $\frac{2}{3}$ میفهمیم نفر اول دو قسمت و نفر دوم سه قسمت از کل (که به 5 قسمت مساوی تقسیم شده) را میبرد. درک این نسبت ساده شده بسیار آسانتر است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: بله، غیرقابل سادهسازی است. زیرا تنها مقسومعلیه مشترک اعداد 7 و 5، عدد 1 است. به خاطر داشته باشید که یک کسر میتواند کسر بزرگتر از واحد (Improper Fraction) باشد ولی همچنان غیرقابل سادهسازی باشد.
پاسخ: خیر، این یک اشتباه رایج است! ممکن است در نگاه اول مشترکی به چشم نیاید، اما 17 و 51 هر دو بر 17 بخشپذیرند. زیرا 51 = 17 × 3. پس این کسر به $\frac{1}{3}$ ساده میشود. همیشه باید دقت کنید که صورت، مقسومعلیه مخرج نباشد یا برعکس.
پاسخ: خیر، همیشه اینطور نیست. شرط اصلی این است که صورت و مخرج عامل مشترکی نداشته باشند. اگر مخرج عدد اولی مانند 7 باشد، اما صورت مضربی از 7 باشد (مثل 14 یا 21)، آن کسر قابل ساده شدن است. مثال: $\frac{21}{7} = 3$ که یک عدد صحیح است.
پاورقی
1غیرقابل سادهسازی (Irreducible Fraction): کسری که صورت و مخرج آن به جز عدد یک، هیچ مقسومعلیه مشترکی نداشته باشند. به آن کسر ساده شده یا در پایینترین عبارت نیز میگویند.
2بزرگترین مقسومعلیه مشترک (Greatest Common Divisor - GCD): بزرگترین عددی که بتواند هر دو عدد داده شده را بدون باقیمانده تقسیم کند.
3عامل اول (Prime Factor): عواملی از یک عدد که خودشان اعداد اول باشند (مانند 2, 3, 5, 7, ...).
4کسر بزرگتر از واحد (Improper Fraction): کسری که در آن صورت از مخرج بزرگتر یا مساوی باشد (مانند $\frac{7}{5}$ یا $\frac{4}{4}$).
5عدد اول (Prime Number): عددی طبیعی بزرگتر از 1 که جز خودش و عدد 1، مقسومعلیه دیگری نداشته باشد (مانند 2, 3, 5, 7, 11).
