روش ترسیمی: رسم هر دو خط و پیدا کردن نقطهٔ برخورد
دستگاه معادلات خطی چیست و چرا به نقطهٔ برخورد نیاز داریم؟
گاهی در زندگی با موقعیتهایی روبرو میشویم که باید بین دو گزینه تصمیم بگیریم. فرض کنید میخواهید با تاکسی به مدرسه بروید. شرکت الف کرایهٔ ابتدایی 5000 تومان و برای هر کیلومتر 2000 تومان میگیرد. شرکت ب کرایهٔ ابتدایی 8000 تومان اما برای هر کیلومتر فقط 1500 تومان دریافت میکند. سوال اینجاست: برای چند کیلومتر مسافت، هزینهٔ هر دو شرکت یکسان میشود؟
این سوال را میتوانیم با دو معادله مدل کنیم:
هزینهٔ شرکت الف: $ y = 2000x + 5000 $
هزینهٔ شرکت ب: $ y = 1500x + 8000 $
در این معادلات، x نشاندهندهٔ مسافت بر حسب کیلومتر و y نشاندهندهٔ هزینهٔ کل است. به مجموعهٔ این دو معادله که با هم بررسی میشوند، یک دستگاه معادلات خطی1 میگوییم. جواب دستگاه، مقادیری برای x و y است که هر دو معادله را همزمان درست میکند. در مثال ما، این جواب همان مسافتی است که هزینههای دو شرکت با هم برابر میشود.
چهار گام ساده برای حل به روش ترسیمی
حل این دستگاه با روش ترسیمی، مانند یک بازی است. ما هر معادله را به یک خط روی صفحه تبدیل میکنیم و نقطهای که این دو خط به هم میرسند را پیدا میکنیم.
| گام | شرح کار | مثال (شرکت تاکسی الف: y=2000x+5000) |
|---|---|---|
| ۱ | یک جدول مقدار برای معادله اول بسازید. دو مقدار ساده برای x انتخاب کنید و y مربوطه را محاسبه کنید. |
اگر x=0، آنگاه y=5000. نقطه: (0,5000)
اگر x=2، آنگاه y=2000*2+5000=9000. نقطه: (2,9000) |
| ۲ | نقاط بهدستآمده را روی صفحه مختصات4 علامت بزنید و با خطکش، خطی که از این دو نقطه میگذرد را رسم کنید. | نقاط (0,5000) و (2,9000) را روی صفحه مشخص کرده و آنها را به هم وصل میکنیم. |
| ۳ | مراحل ۱ و ۲ را برای معادلهٔ دوم دقیقاً تکرار کنید. | برای معادله y=1500x+8000:
اگر x=0، y=8000 -> (0,8000) اگر x=2، y=1500*2+8000=11000 -> (2,11000) این دو نقطه را نیز رسم میکنیم. |
| ۴ | به نقطهای که دو خط یکدیگر را قطع میکنند نگاه کنید. مختصات (x,y) این نقطه، جواب دستگاه معادلات است. | در رسم ما، دو خط در یک نقطه قطع میشوند. با دقت نگاه میکنیم: این نقطه (6,17000) است.
یعنی در مسافت 6 کیلومتری، هزینه هر دو شرکت 17000 تومان میشود. |
وقتی دو خط داستانهای مختلفی تعریف میکنند!
همیشه دو خط در یک نقطه قطع نمیشوند. با توجه به شکل قرارگیری خطوط، سه حالت کلی وجود دارد:
| وضعیت خطوط | تعداد جواب | مثال کاربردی و درک شهودی | برچسب وضعیت |
|---|---|---|---|
| متقاطع | یک جواب منحصر به فرد | مثال تاکسی: یک مسافت مشخص وجود دارد که هزینهها برابر میشود. | دارای جواب |
| موازی | هیچ جوابی ندارد | دو شرکت تاکسی که دقیقاً یک طرح تعرفهای دارند ولی کرایهٔ ابتدایی یکی همیشه از دیگری بیشتر است. هیچوقت هزینهها برابر نمیشود. | بینتیجه |
| بر هم منطبق (یکی شدن) | بینهایت جواب | دو شرکت تاکسی که دقیقاً یک طرح و کرایهٔ یکسان دارند. در هر مسافتی که حساب کنید، هزینهها برابر است. | بینهایت جواب |
از کلاس تا زندگی: کاربرد روش ترسیمی در تصمیمگیری
این روش فقط برای حل تمرین ریاضی نیست. بیایید یک مثال دیگر از دنیای واقعی بزنیم. شما میخواهید برای تلفن همراه خود یک بستهٔ اینترنت انتخاب کنید.
- طرح اول: ماهانه 10000 تومان حق اشتراک ثابت + هر مگابایت مصرفی 200 تومان.
- طرح دوم: ماهانه 20000 تومان حق اشتراک ثابت + هر مگابایت مصرفی 100 تومان.
معادلات میشوند:
$ y = 200x + 10000 $ و $ y = 100x + 20000 $
اگر این دو خط را رسم کنید، نقطهٔ برخورد آنها (100,30000) میشود. این یعنی اگر حدود 100 مگابایت در ماه مصرف کنید، هزینهٔ هر دو طرح یکسان (30000 تومان) است. اگر مصرف شما کمتر از این مقدار است، طرح اول به صرفهتر است و اگر بیشتر مصرف میکنید، طرح دوم اقتصادیتر خواهد بود. با این روش ترسیمی ساده میتوانید بهترین تصمیم مالی را بگیرید!
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر، دقت روش ترسیمی به دقت رسم شما بستگی دارد. اگر مقیاس صفحه را کوچک انتخاب کنید یا خطها را با دقت نرسمید، ممکن است مختصات نقطه را با یک یا دو واحد اختلاف بخوانید. این روش برای درک مفهوم و پیدا کردن جواب تقریبی عالی است، اما برای جواب دقیقتر باید از روشهای جبری مثل $ \text{حذفی} $ یا $ \text{جایگزینی} $ استفاده کرد.
پاسخ: لزوماً نه! موازی شدن خطوط یک پاسخ ریاضی معتبر است. این حالت وقتی پیش میآید که شیب دو خط (m) برابر باشد ولی عرض از مبدأ (b) متفاوت باشد. در زندگی واقعی، این یعنی دو گزینه اساساً شبیه هم هستند اما یکی همیشه گرانتر (یا ارزانتر) است و هیچ نقطهٔ برابری وجود ندارد.
پاسخ: از نظر هندسی، یک خط راست از بینهایت نقطه تشکیل شده اما برای کشیدن یک خط راست، دانستن تنها دو نقطه از آن کافی است. اگر فقط یک نقطه داشته باشید، بینهایت خط مختلف میتوان از آن نقطه عبور داد. بنابراین، پیدا کردن دو نقطه برای هر معادله، مطمئنترین راه برای رسم خط مربوط به آن است.
پاورقی
1 دستگاه معادلات خطی (System of Linear Equations): مجموعهای از دو یا چند معادله خطی که متغیرهای مشترک دارند و باید به طور همزمان حل شوند.
2 شیب (Slope): در یک خط، نسبت تغییرات عمودی به تغییرات افقی است. نشان میدهد خط چقدر تند یا ملایم است.
3 عرض از مبدأ (y-intercept): نقطهای که خط، محور عرضها (محور y) را قطع میکند. مقدار y وقتی x صفر است.
4 صفحه مختصات (Coordinate Plane): صفحهای متشکل از دو محور عمود بر هم (افقی x و عمودی y) برای مشخص کردن موقعیت نقاط.
