تجزیه عبارات جبری: از خشتهای ساده تا ساختمانهای بزرگ
تجزیه چیست و چرا مهم است؟
بیایید با یک مثال از زندگی شروع کنیم. فرض کنید برای تولد دوستتان 12 لیوان آبمیوه و 18 عدد کیک کوچک خریدهاید و میخواهید آنها را در چند سینی، به طور مساوی تقسیم کنید. بزرگترین تعداد سینی که بتوان هم آبمیوه و هم کیک را به تعداد مساوی در آن چید، چندتا است؟ پاسخ، همان بزرگترین مقسومعلیه مشترک یا ب.م.م[2]6 و 18 است که میشود 6. در دنیای جبر هم، تجزیه کاری مشابه انجام میدهد: دنبال بخش مشترکی در یک عبارت میگردد که بتوان آن را از پرانتز بیرون آورد تا عبارت سادهتر شود.
در واقع، تجزیه برعکس عمل ضرب است. وقتی دو عبارت ساده را در هم ضرب میکنیم، یک عبارت پیچیدهتر به دست میآوریم. در تجزیه، این مسیر را برعکس میرویم.
انواع روشهای تجزیه: نقشهای برای سادهسازی
برای تجزیه عبارات مختلف، روشهای مشخصی وجود دارد. در اینجا سه روش اصلی و پرکاربرد را بررسی میکنیم.
| نام روش | چه زمانی استفاده میشود؟ | مثال ساده |
|---|---|---|
| فاکتورگیری از عامل مشترک | وقتی همهی جملات عبارت، بخشی یکسان (عدد، متغیر یا ترکیب هر دو) دارند. | $ 3x^2 + 6x = 3x(x + 2) $ |
| استفاده از اتحادهای معروف | وقتی بتوان عبارت را شبیه به یکی از اتحادهای مثلثاتی دید. | $ x^2 - 9 = (x-3)(x+3) $ (اتحاد مزدوج) |
| تجزیه سهجملهای درجه دو | برای عبارات به شکل $ ax^2 + bx + c $. | $ x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3) $ |
تجربه عملی: از کلاس درس تا حیاط مدرسه
حالا بیایید با یک مثال کاربردی، مراحل تجزیه را گامبهگام طی کنیم.
مسئله: معلم از شما خواسته مساحت زمین مستطیلشکل حیاط مدرسه را بر حسب $ x $ بیابید. شما میدانید طول آن $ (x+3) $ متر و عرض آن $ (x+2) $ متر است. پس مساحت میشود: $ (x+3)(x+2) $. با ضرب کردن، به عبارت $ x^2 + 5x + 6 $ میرسید. تجزیه، برعکس این کار است. اگر فقط $ x^2 + 5x + 6 $ را داشتیم، چطور آن را به $ (x+3)(x+2) $ تبدیل کنیم؟
گامها:
۱. به دنبال دو عدد بگردید که حاصلضربشان برابر با عدد ثابت (6) و حاصلجمعشان برابر با ضریب $ x $ (5) باشد.
۲. اعداد 2 و 3 را آزمایش کنید: $ 2 \times 3 = 6 $ و $ 2 + 3 = 5 $. بینگو! اینها درست هستند.
۳. عبارت را به صورت حاصلضرب دو پرانتز بنویسید: $ (x + 2)(x + 3) $.
به همین سادگی! شما دوباره ابعاد زمین را پیدا کردید.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. بعضی از عبارات جبری «اولیه» یا «بیشتر تجزیهناپذیر» هستند، مانند $ x^2 + 4 $ (در مجموعه اعداد حقیقی). اما بسیاری از عباراتی که در کتاب درسی میبینید، قابل تجزیه هستند.
پاسخ: فراموش کردن عدد 1! وقتی همهی عبارت را بر خودش تقسیم میکنیم تا آن را از پرانتز بیرون بکشیم، در داخل پرانتز باید عدد 1 باقی بماند. مثلاً درستِ $ 5x^2 + x = x(5x + 1) $ است، نه $ x(5x) $.
پاسخ: در مهندسی برای محاسبهی مقاومت مصالح، در اقتصاد برای سادهسازی فرمولهای سود و زیان، در فیزیک برای تحلیل حرکت و حتی در برنامهنویسی رایانه برای بهینهسازی کدها از ایدهی تجزیه و سادهسازی استفاده میشود. در واقع هرجا که با فرمولهای پیچیده سر و کار داریم، این مهارت به کمک ما میآید.
پاورقی
[1] فاکتورگیری (Factoring): در ریاضیات، به عمل نوشتن یک عبارت به صورت حاصلضرب دو یا چند عبارت سادهتر گفته میشود.
[2] ب.م.م (Greatest Common Divisor - GCD): بزرگترین عددی که دو یا چند عدد بر آن بخشپذیر باشند.
