اتحادهای مربع: از دو جمله تا سه جمله
اتحاد مربع دو جملهای؛ یک الگوی طلایی
اولین و معروفترین اتحاد، مربع مجموع یا تفاضل دو جمله است. فرض کنید میخواهیم طول ضلع یک زمین بازی که به شکل مربع است را $ (x+3) $ متر در نظر بگیریم. مساحت این زمین چقدر است؟ مساحت مربع برابر است با $ (x+3)^2 $.
به جای ضرب طولانی $ (x+3)(x+3) $، میتوانیم از اتحاد معروف استفاده کنیم:
$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
در مثال زمین بازی، $ a = x $ و $ b = 3 $ است. پس خواهیم داشت:
$ (x+3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9 $
پس مساحت زمین برابر با $ x^2 + 6x + 9 $ متر مربع است. دقت کنید که $ 2ab $ همیشه دو برابر حاصلضرب دو جمله است و نباید فراموش شود.
| عبارت | روش ضرب معمولی | استفاده از اتحاد | نتیجه |
|---|---|---|---|
| $ (2y+5)^2 $ | $ (2y+5)(2y+5) = 4y^2+10y+10y+25 $ | $ (2y)^2 + 2 \times (2y) \times 5 + 5^2 $ | $ 4y^2 + 20y + 25 $ |
| $ (3t-4)^2 $ | $ (3t-4)(3t-4) = 9t^2 -12t -12t + 16 $ | $ (3t)^2 - 2 \times (3t) \times 4 + 4^2 $ | $ 9t^2 - 24t + 16 $ |
گسترش به دنیای سه جملهها
حالا فرض کنید میخواهیم مربع یک سهجملهای را محاسبه کنیم. مثلاً محیط یک مثلث متساویالاضلاع را $ (a+b+c) $ سانتیمتر میدانیم. برای محاسبه مساحت یک شکل مرتبط، ممکن است به $ (a+b+c)^2 $ نیاز داشته باشیم. آیا اتحادی برای این کار وجود دارد؟ بله، کافی است سهجملهای را به صورت جمع دوجملهای ببینیم.
میتوانیم بنویسیم: $ (a+b+c)^2 = [(a+b) + c]^2 $.
حالا $ (a+b) $ را مانند یک جمله در نظر میگیریم و از اتحاد مربع دو جملهای استفاده میکنیم:
$ [(a+b) + c]^2 = (a+b)^2 + 2 \times (a+b) \times c + c^2 $
حالا دوباره از اتحاد مربع دو جملهای برای $ (a+b)^2 $ استفاده کرده و پرانتزها را باز میکنیم:
$ = (a^2 + 2ab + b^2) + (2ac + 2bc) + c^2 $
در نهایت جملههای مشابه را کنار هم مینویسیم تا به فرمول نهایی برسیم:
$ (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc $
این اتحاد یک الگوی بسیار منظم دارد: مربع هر جمله بهعلاوه دو برابر حاصلضرب هر جفت جمله. برای به خاطر سپردن، میتوانید آن را اینگونه تصور کنید: اول مربع همه را کنار هم بگذارید، سپس تمام دو به دومیها (حاصلضربها) را با ضریب دو جمع کنید.
کاربرد در دنیای اطراف ما: محاسبهی سریع
اتحادها فقط برای حل تمرین کتاب ریاضی نیستند. یک باغبان را تصور کنید که میخواهد مساحت یک قطعه زمین مربعی شکل را حساب کند. طول ضلع زمین برابر است با $ (10 + x) $ متر. با استفاده از اتحاد مربع دو جملهای به راحتی میتوان گفت مساحت برابر است با $ 100 + 20x + x^2 $ متر مربع. اگر $ x=2 $ باشد، مساحت میشود $ 100 + 40 + 4 = 144 $.
یا در طراحی، اگر طول اضلاع یک مکعب به صورت $ (p+q+r) $ باشد، برای محاسبهی مساحت کل سطح آن (که فرمولی شبیه به مربع سه جمله دارد) میتوان از این اتحاد کمک گرفت. این سرعت عمل، در محاسبات مهندسی ساده و برنامهنویسی نیز بسیار ارزشمند است.
حتی در ذهنی محاسبه کردن: $ 103^2 $ را میخواهید حساب کنید. میتوانید بنویسید $ 103 = 100 + 3 $. پس $ 103^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 3 + 3^2 = 10000 + 600 + 9 = 10609 $. بسیار سادهتر از ضرب $ 103 \times 103 $!
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر! این یک اشتباه بسیار رایج است. $ a^2 - b^2 $ حاصل اتحاد مزدوج$^4$ است. در حالی که $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $. تفاوت در جملهی میانی $ 2ab $ است. مثال: $ (5-2)^2 = 3^2 = 9 $ اما $ 5^2 - 2^2 = 25-4=21 $ که برابر نیست.
پاسخ: کافی است آن را به شکل $ [a+b+(-c)]^2 $ بنویسیم. سپس در فرمول اصلی، $ c $ را با $ -c $ جایگزین کنیم. پس خواهیم داشت:
$ a^2 + b^2 + (-c)^2 + 2ab + 2a(-c) + 2b(-c) = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc $.
قاعده کلی این است: مربع هر جمله همیشه مثبت میشود، اما علامت جلوی حاصلضرب دوگانه به علامت خود آن جملات بستگی دارد.
پاسخ: سه دلیل اصلی وجود دارد: سرعت (محاسبه سریعتر)، دقت (احتمال خطا در ضرب طولانی بیشتر است) و درک عمیقتر (با دیدن الگوها، میتوانید مسائل پیچیدهتر یا معکوس آنها را نیز حل کنید، مانند تبدیل یک عبارت به مربع کامل). این اتحادها ابزارهایی هستند که جعبه ابزار ریاضی شما را قدرتمند میکنند.
پاورقی
1 اتحاد (Algebraic Identity): یک برابری جبری که به ازای همهی مقادیر متغیرها برقرار است.
2 اتحاد مربع دو جملهای (Square of a Binomial Identity).
3 اتحاد مربع سه جملهای (Square of a Trinomial Identity).
4 اتحاد مزدوج (Conjugate Identity): $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $.
