درجهٔ کلی تکجملهای: کلید حل معمای پیچیدگی عبارات
تکجمله چیست و درجهٔ آن چگونه تعریف میشود؟
برای درک درجهٔ کلی، اول باید بدانیم تکجمله چیست. یک تکجمله، سادهترین قطعهٔ ساختمانی در جبر است: حاصلضرب یک عدد (که به آن ضریب[2] میگوییم) در یک یا چند متغیر که هر کدام به یک توان (Exponent) رسیدهاند.
به مثالهای زیر توجه کنید:
- $5x^2$: اینجا فقط یک متغیر داریم به نام x که توان آن 2 است. پس درجه کلی میشود: 2.
- $-3a^4b^1$ (یا $-3a^4b$): دو متغیر داریم. توان a برابر 4 و توان b برابر 1 است. درجه کلی: 4 + 1 = 5.
- $7m^2n^3p^2$: سه متغیر. مجموع توانها: 2 + 3 + 2 = 7. پس درجه کلی 7 است.
دقت کنید که ضریب عددی (مثلاً 5، -3 یا 7) هیچ تأثیری در محاسبهٔ درجه کلی ندارد. آنها فقط اندازه یا مقیاس عبارت را نشان میدهند، نه پیچیدگی آن را.
راهنمای گامبهگام محاسبهٔ درجهٔ کلی
برای اینکه هیچوقت در محاسبه اشتباه نکنید، این چهار گام ساده را دنبال کنید:
| گام | کاری که باید انجام دهید | مثال: $ -2x^3y^2 $ |
|---|---|---|
| ۱ | همهٔ متغیرهای داخل تکجمله را شناسایی کنید. | متغیرها: x و y. |
| ۲ | توان هر متغیر را بخوانید. اگر متغیری بدون توان نوشته شده، توان آن ۱ است. | توان x: 3، توان y: 2. |
| ۳ | همهٔ این توانها را با هم جمع بزنید. | مجموع: 3 + 2 = 5. |
| ۴ | عدد بهدستآمده، همان درجهٔ کلی تکجمله است. ضریب عددی را نادیده بگیرید. | درجهٔ کلی: ۵. |
حالا خودتان امتحان کنید: درجهٔ کلی $ 10r^5s t^2 $ چقدر است؟ متغیرها r, s, t هستند. توانهایشان به ترتیب 5، 1 (برای s) و 2 است. پس 5 + 1 + 2 = 8. درجه کلی برابر 8 میشود.
درجهٔ کلی در دنیای اطراف ما: از هندسه تا خرید
شاید بپرسید این مفهوم به چه دردی میخورد؟ درک درجهٔ کلی کمک میکند تا رفتار عبارات جبری را پیشبینی کنیم. یک مثال ساده از هندسه: فرمول مساحت یک مستطیل است: $ \text{طول} \times \text{عرض} $. اگر طول را $x$ و عرض را $y$ بنامیم، فرمول میشود $ A = x y $. این یک تکجمله است. درجهٔ کلی آن چقدر است؟ توان هر متغیر ۱ است. پس 1 + 1 = 2. این عدد 2 به ما میگوید که مساحت، یک مفهوم دوبعدی است (مربوط به سطح).
حالا فرمول حجم یک مکعبمستطیل را در نظر بگیرید: $ V = x y z $. درجهٔ کلی: 1+1+1=3. این عدد 3 نشاندهندهٔ یک مفهوم سهبعدی (حجم) است. پس درجهٔ کلی میتواند بعد هندسی یک کمیت را به ما نشان دهد!
مثال دیگر از فروشگاه: فرض کنید قیمت هر سیب $a$ تومان و قیمت هر پرتقال $b$ تومان باشد. اگر شما $3$ سیب و $2$ پرتقال بخرید، هزینهٔ کل را میشود با این تکجمله نشان داد: $ 3a + 2b $. اما این یک چندجملهای[3] است (دو تکجمله با عمل جمع). برای محاسبه درجهٔ کلی، باید هر تکجمله را جداگانه بررسی کنیم. تکجملهٔ اول $3a$ درجهاش 1 و دومی $2b$ درجهاش 1 است. بالاترین درجه (که هر دو 1 هستند)، درجهٔ کلی این چندجملهای را نشان میدهد که باز هم 1 است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
- جمع کردن ضریب با توانها: مثلاً در $4x^2$، برخی ممکن است بگویند درجه 4+2=6 است! این غلط است. ضریب (4) هرگز در جمع توانها شرکت نمیکند.
- فراموش کردن توان ۱ برای متغیرهای تنها: در $5xy^2$، متغیر x به توان ۱ رسیده. پس درجهٔ کلی میشود 1 + 2 = 3، نه 2.
پاورقی
[1] تکجمله (Monomial): عبارت جبری که از حاصلضرب یک عدد در یک یا چند متغیر با توانهای صحیح غیرمنفی تشکیل شده باشد.
[2] ضریب (Coefficient): عدد ثابتی که در یک تکجمله متغیرها را ضرب میکند.
[3] چندجملهای (Polynomial): عبارت جبری که از جمع یا تفاضل چند تکجمله تشکیل شده باشد.
