توانرسانی به کسرها: $(\frac{a}{b})^m$ یعنی چه؟
قانون اصلی و یادآوری چند مفهوم پایه
قبل از شروع، بیایید چند مفهوم ساده را مرور کنیم:
| مفهوم | نماد ریاضی | مثال و توضیح |
|---|---|---|
| توان | $a^m$ | یعنی عدد $a$، $m$ بار در خودش ضرب شود. مثال: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$. |
| کسر | $\frac{a}{b}$ | عدد $a$ صورت و عدد $b$ مخرج است. مانند $\frac{3}{4}$ یک پیتزا. |
| توانرسانی به کسر | $(\frac{a}{b})^m$ | یعنی کل کسر $\frac{a}{b}$، $m$ بار در خودش ضرب شود. |
حالا میتوانیم قانون اصلی را بیان کنیم:
$(\frac{a}{b})^m = \frac{a^m}{b^m}$
چرا این قانون درست است؟ (مراحل گامبهگام)
بیایید با یک مثال عددی دلیل درستی این قانون را ببینیم. فرض کنید میخواهیم $(\frac{2}{3})^2$ را حساب کنیم.
گام اول (تعریف توان): توان 2 یعنی آن کسر دو بار در خودش ضرب شود.
$(\frac{2}{3})^2 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}$
گام دوم (ضرب کسرها): میدانیم برای ضرب کسرها، صورتها را در هم و مخرجها را در هم ضرب میکنیم.
$\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 3}$
گام سوم (نوشتن به صورت توان): حالا میتوانیم ضربهای صورت و مخرج را به صورت توان بنویسیم.
$\frac{2 \times 2}{3 \times 3} = \frac{2^2}{3^2}$
پس دیدیم که $(\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$. این استدلال برای هر توان طبیعی دیگر و هر کسری نیز درست است.
کاربرد قانون در دنیای واقعی و حل مسئله
این قانون فقط یک مفهوم تئوری نیست. به این مثال از محیط اطراف توجه کنید:
مثال ۱ (مساحت یک قطعه زمین): فرض کنید یک زمین کشاورزی به شکل مربع داریم که هر ضلع آن $\frac{3}{5}$ کیلومتر است. مساحت این زمین چقدر است؟ میدانیم مساحت مربع = (ضلع)2.
پس باید $(\frac{3}{5})^2$ را حساب کنیم. به جای ضرب $\frac{3}{5} \times \frac{3}{5}$، مستقیم از قانون استفاده میکنیم:
$(\frac{3}{5})^2 = \frac{3^2}{5^2} = \frac{9}{25}$
پس مساحت زمین $\frac{9}{25}$ کیلومتر مربع است. محاسبه سریع
مثال ۲ (حجم یک مکعب کوچک): یک قند مکعبی شکل را در نظر بگیرید که طول هر ضلع آن $\frac{1}{4}$ دسیمتر است. حجم آن چقدر است؟ حجم مکعب = (ضلع)3.
حساب میکنیم: $(\frac{1}{4})^3 = \frac{1^3}{4^3} = \frac{1}{64}$
پس حجم این قند $\frac{1}{64}$ دسیمتر مکعب است.
| صورت مسئله | حل با قانون جدید | نتیجه نهایی |
|---|---|---|
| محاسبه $(\frac{2}{5})^3$ | $\frac{2^3}{5^3}$ | $\frac{8}{125}$ |
| محاسبه $(\frac{10}{3})^2$ | $\frac{10^2}{3^2}$ | $\frac{100}{9}$ |
| محاسبه $(\frac{1}{2})^4$ | $\frac{1^4}{2^4}$ | $\frac{1}{16}$ |
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: بله، اما همیشه راحت نیست. برای مثال $\frac{1}{3}$ برابر 0.333... است و به توان رساندن این عدد اعشاری سختتر از استفاده از قانون $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$ است.
پاسخ: اشتباه رایج این است که فقط صورت یا فقط مخرج به توان برسد. مثلاً نوشتن $(\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3}$ یا $(\frac{2}{3})^2 = \frac{2}{3^2}$کاملاً غلط است. هم صورت و هم مخرج باید به توان برسند.
پاسخ: بله، اما فعلاً در سطح نهم، روی توانهای طبیعی (مثبت و بزرگتر از صفر) تمرکز میکنیم. فقط بدانید که این قانون کلیتر است و برای $m=0$، جواب هر کسر (غیرصفر) برابر با 1 میشود.
پاورقی
[1] توان (Exponent): نشاندهندهٔ تعداد دفعات ضرب یک عدد در خودش است.
[2] کسر (Fraction): عددی که به صورت تقسیم دو عدد صحیح (صورت بر مخرج) نمایش داده میشود.
[3] صورت (Numerator): عددی که در خط کسر و در قسمت بالا قرار میگیرد.
[4] مخرج (Denominator): عددی که در خط کسر و در قسمت پایین قرار میگیرد و نمیتواند صفر باشد.
