قضیهٔ کار-انرژی جنبشی[1]: شاهکلیدی برای فهم حرکت
انرژی جنبشی: انرژی ناشی از حرکت
همهٔ ما به طور شهودی میدانیم جسمی که حرکت میکند، انرژی دارد. یک توپ بولینگ سنگین که سریع حرکت میکند، انرژی زیادی دارد و میتواند اشیا را جابجا کند. انرژی جنبشی[2]، دقیقاً همان انرژی ناشی از حرکت یک جسم است. مقدار آن به دو چیز بستگی دارد: جرم[3] جسم و سرعت آن. هرچه جسم سنگینتر یا سریعتر باشد، انرژی جنبشی آن بیشتر است. این رابطه به صورت ریاضی نوشته میشود:
که در آن:
$K$ = انرژی جنبشی (بر حسب ژول[4])
$m$ = جرم جسم (بر حسب کیلوگرم)
$v$ = سرعت جسم (بر حسب متر بر ثانیه)
مثال: یک توپ فوتبال با جرم 0.4 kg با سرعت 20 m/s شوت میشود. انرژی جنبشی آن برابر است با: $K = \frac{1}{2} \times 0.4 \times (20)^2 = \frac{1}{2} \times 0.4 \times 400 = 80 J$. پس این توپ 80 ژول انرژی جنبشی دارد.
کار در فیزیک: انتقال انرژی توسط نیرو
در فیزیک، کار[5] معنی خاصی دارد. کار زمانی انجام میشود که یک نیرو باعث جابجایی جسم در راستای خودش شود. مثلاً وقتی شما یک کیف سنگین را از زمین بلند میکنید، روی آن کار انجام میدهید. اما اگر کیف را به سختی نگه دارید و حرکت ندهید، با وجود خستگی، از دید فیزیک کار مفیدی انجام ندادهاید! مقدار کار از حاصلضرب نیرو در جابجایی به دست میآید:
که در آن:
$W$ = کار انجامشده (ژول)
$F$ = اندازهٔ نیرو (نیوتن[6])
$d$ = اندازهٔ جابجایی (متر)
$\theta$ = زاویه بین بردار نیرو و بردار جابجایی
اگر نیرو در همان راستای حرکت باشد ($\theta = 0^\circ$ و $\cos(0)=1$)، فرمول ساده میشود: $W = F \cdot d$. کار میتواند مثبت (افزایش سرعت)، منفی (کاهش سرعت) یا صفر (تغییر نکردن سرعت) باشد. نیروی اصطکاک معمولاً کار منفی انجام میدهد چون خلاف جهت حرکت است.
| مفهوم | تعریف | فرمول | واحد |
|---|---|---|---|
| انرژی جنبشی (K) | انرژی ذخیره شده در جسم به دلیل حرکتش | $K=\frac{1}{2}mv^2$ | ژول (J) |
| کار (W) | انتقال انرژی توسط یک نیرو هنگام جابجایی جسم | $W=F d \cos\theta$ | ژول (J) |
| نیرو (F) | عامل کشش یا رانش که باعث تغییر در حرکت میشود | قانون دوم نیوتن: $F=ma$ | نیوتن (N) |
صورت و اثبات قضیهٔ کار-انرژی جنبشی
حال به رابطهٔ اصلی میرسیم. قضیهٔ کار-انرژی جنبشی پیوندی قدرتمند بین کار و انرژی برقرار میکند. این قضیه بیان میکند:
$W_{\text{کل}} = \Delta K = K_{\text{پایانی}} - K_{\text{آغازی}} = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$
این قضیه مستقیماً از قانون دوم نیوتن[7] و مفاهیم حرکت شناسی[8] به دست میآید. برای جسمی با جرم ثابت $m$ که تحت تأثیر نیروی ثابت $F$ در راستای حرکت شتاب میگیرد، میتوان نوشت:
$W = F \cdot d$ و از قانون دوم نیوتن: $F = m a$.
همچنین از رابطهٔ حرکت شناسی: $v_f^2 = v_i^2 + 2 a d$، پس $a d = \frac{v_f^2 - v_i^2}{2}$.
با جایگذاری: $W = (m a) \cdot d = m (a d) = m \cdot \frac{v_f^2 - v_i^2}{2} = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$.
که دقیقاً برابر تغییر انرژی جنبشی است. این استنتاج برای مجموع کار همهٔ نیروها نیز صادق است.
کاربرد قضیه در حل مسائل گامبهگام
بیایید با یک مثال واقعی این قضیه را در عمل ببینیم. مسئله: یک سورتمه به جرم 30 kg با سرعت اولیه 2 m/s روی برف در حال حرکت است. یک شخص با نیروی 50 N در جهت حرکت به آن به مدت مسافت 10 m هل میدهد. اگر نیروی اصطکاک متوسط 10 N باشد، سرعت نهایی سورتمه چقدر است؟
دو نیرو در راستای حرکت وارد میشوند:
- نیروی هل ($F_p = 50 N$) در جهت حرکت: کار مثبت.
- نیروی اصطکاک ($f_k = 10 N$) در خلاف جهت حرکت: کار منفی.
طبق قضیه: $W_{\text{کل}} = \Delta K = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$.
انرژی جنبشی اولیه: $K_i = \frac{1}{2} \times 30 \times (2)^2 = 60 J$.
بنابراین: $400 = \frac{1}{2} \times 30 \times v_f^2 - 60$.
$\frac{1}{2} \times 30 \times v_f^2 = 400 + 60 = 460$
$15 v_f^2 = 460$
$v_f^2 = \frac{460}{15} \approx 30.67$
$v_f = \sqrt{30.67} \approx 5.54 m/s$.
پس سرعت نهایی سورتمه پس از طی آن مسافت، حدود 5.54 m/s میشود.
نمونههایی از کاربرد قضیه در زندگی روزمره
این قضیه در اطراف ما جاری است. وقتی ترمز میگیرید، نیروی اصطکاک ترمز کار منفی انجام میدهد و انرژی جنبشی خودرو را کاهش میدهد (تبدیل به گرما میکند). وقتی یک توپ بسکتبال را به سمت حلقه پرتاب میکنید، ماهیچههای شما روی توپ کار مثبت انجام میدهند و انرژی جنبشی آن را از صفر افزایش میدهند. در یک چرخ و فلک، هنگامی که به پایینترین نقطه میرسد، کار انجامشده توسط گرانش باعث بیشترین سرعت (بیشترین انرژی جنبشی) میشود. حتی در ورزش، این قضیه توضیح میدهد که چرا دویدن از حالت سکون نیاز به انجام کار زیادی دارد (افزایش انرژی جنبشی از صفر).
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. آنها مفاهیمی مرتبط اما متمایزند. انرژی جنبشی یک ذخیره انرژی (وضعیت) است، در حالی که کار فرآیند انتقال انرژی (کنش) است. قضیه، ارتباط کمی بین این دو را برقرار میکند.
پاسخ: اگر سرعت ثابت باشد، تغییر انرژی جنبشی صفر است ($\Delta K = 0$). طبق قضیه، کار کل صفر است. اما ممکن است نیروهای مختلفی کار انجام دهند که مجموع جبری آنها صفر شود (مثلاً نیروی موتور و اصطکاک هوا در خودرویی با سرعت ثابت).
پاسخ: بله، کاملاً. کافی است کار همهٔ نیروها (گرانش، نرمال[9]، اصطکاک، نیروی موتور و ...) را محاسبه کنید. کار کل این نیروها همچنان برابر تغییر انرژی جنبشی جسم خواهد بود. این قضیه یک رابطهٔ عمومی و بسیار قدرتمند است.
قضیهٔ کار-انرژی جنبشی یک ابزار محاسباتی و مفهومی فوقالعاده در فیزیک است که درک ما از چگونگی تغییر سرعت اجسام را عمیقتر میکند. به جای پیگیری جزئیات شتاب و زمان، این قضیه به ما اجازه میدهد با محاسبهٔ کار کل نیروها، مستقیماً تغییرات سرعت (انرژی جنبشی) را بیابیم. یادگیری این قضیه نه تنها برای حل مسائل کتاب درسی، بلکه برای درک پدیدههای فیزیکی در زندگی واقعی، ورزش، مهندسی و تکنولوژی ضروری است. به یاد داشته باشید: کار، انرژی را منتقل میکند و این انتقال، خود را در تغییر انرژی جنبشی نشان میدهد.
پاورقی
[1] Work-Kinetic Energy Theorem (WKE Theorem).
[2] Kinetic Energy (KE).
[3] Mass.
[4] Joule (J): واحد استاندارد کار و انرژی.
[5] Work.
[6] Newton (N): واحد نیرو. $1 N = 1 kg \cdot m/s^2$.
[7] Newton's Second Law: $F_{\text{net}} = m a$.
[8] Kinematics.
[9] Normal Force: نیروی عمود سطح. در قضیه کار-انرژی، اگر سطح افقی باشد، این نیرو عمود بر جابجایی است و کار آن صفر میشود.
