دنیای شگفت‌انگیز اعداد: از شمارش تا اندازه‌گیری
اعداد چگونه متولد شدند؟ یک نگاه کلی
نیاز انسان به شمارش، منجر به پیدایش اولین مجموعه اعداد، یعنی اعداد طبیعی شد. فرض کنید می‌خواهید تعداد سیب‌های یک سبد یا تعداد دوستانتان را بشمارید. شما از اعدادی مانند 1، 2، 3 و ... استفاده می‌کنید. این‌ها همان اعداد طبیعی[1] هستند. اما به مرور زمان، نیازهای پیچیده‌تری مانند نشان دادن «هیچ» (صفر) یا بدهی (اعداد منفی) پیش آمد. این نیازها باعث شد تا مجموعه‌های عددی بزرگ‌تر و کامل‌تری به وجود آیند.
| نام مجموعه | نماد | تعریف و مثال |
|---|---|---|
| اعداد طبیعی | N | اعدادی که برای شمردن به کار می‌روند: {1, 2, 3, ...} |
| اعداد حسابی | W | اعداد طبیعی به همراه صفر: {0, 1, 2, 3, ...} |
| اعداد صحیح | Z | اعداد حسابی به همراه اعداد منفی: {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} |
| اعداد گویا | Q | اعدادی که به صورت کسر $\frac{a}{b}$ نوشته می‌شوند که a و b عدد صحیح و b \neq 0$ است. مانند: $\frac{1}{2}, -3, 0.75$ |
| اعداد گنگ | I | اعدادی که نمی‌توان آن‌ها را به صورت کسر نوشت. اعشار آن‌ها بی‌نهایت و غیر تکراری است. مانند: $\pi, \sqrt{2}$ |
| اعداد حقیقی | R | اجتماع تمام اعداد گویا و گنگ. این مجموعه تمام اعدادی را که روی محور اعداد می‌بینیم، در بر می‌گیرد. |
رابطه مجموعه ها: یک نقشه راه ساده
این مجموعه‌های عددی مانند جعبه‌های تودرتو هستند. هر مجموعه، مجموعه کوچک‌تر قبلی را کاملاً درون خود جای داده است. این رابطه را می‌توان به صورت زیر نشان داد:
$ \text{طبیعی} \subset \text{حسابی} \subset \text{صحیح} \subset \text{گویا} \subset \text{حقیقی} $
و
$ \text{اعداد گنگ} \subset \text{اعداد حقیقی} $
همچنین: $ \text{اعداد گویا} \cup \text{اعداد گنگ} = \text{اعداد حقیقی} $ و $ \text{اعداد گویا} \cap \text{اعداد گنگ} = \varnothing $
به این معنی که هر عدد طبیعی، یک عدد حسابی نیز هست. هر عدد حسابی، یک عدد صحیح است و به همین ترتیب ادامه دارد. مجموعه اعداد حقیقی نیز از ترکیب دو مجموعه مجزای اعداد گویا و اعداد گنگ ساخته شده است.
اعداد در زندگی ما: از خرید تا معماری
شاید فکر کنید این اعداد فقط در کتاب‌های ریاضی کاربرد دارند، اما آن‌ها هر روز در زندگی ما حاضرند.
اعداد طبیعی و حسابی وقتی تعداد دانش‌آموزان کلاس را می‌شمارید یا شماره پلاک خانه‌تان را می‌بینید.
اعداد صحیح وقتی دمای هوا را از روی دماسنج می‌خوانید (مثلاً -5 درجه) یا موجودی حساب بانکی که ممکن است منفی شود (بدهی) را بررسی می‌کنید.
اعداد گویا وقتی یک پیتزا را بین ۴ دوست تقسیم می‌کنید و هرکس $\frac{1}{4}$ آن را می‌خورد، یا وقتی نیم لیتر (0.5 لیتر) شیر می‌خرید.
اعداد گنگ وقتی مهندسان برای ساخت یک بنای مدور مانند یک استادیوم، نسبت محیط به قطر دایره ($\pi$) را محاسبه می‌کنند. یا وقتی طول قطر یک مربع به ضلع 1 متر را ($\sqrt{2}$ متر) اندازه می‌گیرند.
همه این اعداد، روی محور اعداد حقیقی[2] جای می‌گیرند. محور اعداد، خطی است که هر نقطه روی آن متناظر با یک عدد حقیقی است و برعکس.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
خیر. این یک اشتباه رایج است. همه اعداد صحیح، گویا هستند (مثلاً عدد 5 را می‌توان $\frac{5}{1}$ نوشت) اما برعکس آن صادق نیست. برای مثال، $\frac{1}{2}$ یک عدد گویا است ولی جزء اعداد صحیح محسوب نمی‌شود.
مهم‌ترین تفاوت در نمایش اعشاری آن‌هاست. اگر یک عدد را به صورت اعشاری بنویسیم و این نمایش اعشاری پایان‌پذیر (مانند 0.5) یا متناوب[3] (مانند 0.333...$) باشد، آن عدد گویا است. اما اگر نمایش اعشاری آن بی‌نهایت و غیرتکرارشونده باشد (مانند عدد $\pi$)، آن عدد گنگ است.
این موضوع بستگی به تعریف دارد. در برخی کتاب‌ها، اعداد طبیعی از یک شروع می‌شوند ({1, 2, 3, ...}) و در برخی دیگر صفر را نیز شامل می‌شوند ({0, 1, 2, 3, ...}) که در این صورت به آن مجموعه اعداد حسابی می‌گویند. برای جلوگیری از اشتباه، بهتر است همیشه به نماد و تعریف ارائه شده دقت کنید.
پاورقی
[1] اعداد طبیعی (Natural Numbers): به مجموعه اعداد مثبت و صحیحی که برای شمارش به کار می‌روند گفته می‌شود.
[2] اعداد حقیقی (Real Numbers): به مجموعه تمام اعداد گویا و گنگ اطلاق می‌شود که می‌توانند روی یک خط پیوسته نمایش داده شوند.
[3] اعداد اعشاری متناوب (Repeating Decimals): به اعداد اعشاری گفته می‌شود که یک یا چند رقم در بخش اعشاری آن‌ها تا بی‌نهایت تکرار می‌شود.
