اعداد گویا: زبان ریاضی برای تقسیم منصفانه
اعداد گویا چیستند و چگونه نوشته می‌شوند؟
یک عدد گویا، عددی است که می‌توان آن را به صورت کسری نوشت که صورت[3] و مخرج[4] آن اعداد صحیح باشند و مخرج آن برابر با صفر نباشد. این تعریف ساده، دنیای وسیعی از اعداد را در بر می‌گیرد. به زبان ریاضی، اگر $a$ و $b$ اعداد صحیح باشند و $b \neq 0$، آنگاه $\frac{a}{b}$ یک عدد گویا است.
$\frac{\text{عدد صحیح}}{\text{عدد صحیح (غیر از صفر)}}$
برای مثال، وقتی یک کیک را بین 4 دوست به طور مساوی تقسیم می‌کنید، سهم هر نفر معادل $\frac{1}{4}$ کیک می‌شود. این یک عدد گویا است. حتی اعداد صحیح معمولی مانند 5 نیز می‌توانند به صورت کسری مانند $\frac{5}{1}$ یا $\frac{10}{2}$ نوشته شوند، پس آن‌ها هم جزو اعداد گویا هستند.
| شرح مثال | نمایش کسری | عدد گویا |
|---|---|---|
| نصف یک پیتزا | $\frac{1}{2}$ | بله |
| سه چهارم زمان یک مسابقه | $\frac{3}{4}$ | بله |
| تقسیم ۵ سیب بین ۰ نفر (غیرممکن) | $\frac{5}{0}$ | خیر |
اعداد گویا روی محور اعداد و به صورت اعشاری
همه‌ی اعداد گویا را می‌توان روی محور اعداد نمایش داد. برای مثال، برای نمایش $\frac{3}{2}$ روی محور، باید واحد را به دو قسمت مساوی تقسیم کنید و سپس از صفر، سه نیم‌واحد به سمت راست بروید. این نقطه، نمایش $\frac{3}{2}$ یا همان 1.5 روی محور است.
تبدیل کسر به عدد اعشاری بسیار ساده است: فقط کافی است صورت کسر را بر مخرج آن تقسیم کنید.
- $\frac{1}{4} = 1 \div 4 = 0.25$
- $\frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0.333...$ (این یک عدد اعشاری دوره‌ای[5] است)
ساده‌سازی کسرها و مقایسه اعداد گویا
ساده‌سازی کسرها به ما کمک می‌کند تا با اعداد کوچک‌تری کار کنیم. برای ساده‌کردن یک کسر، باید صورت و مخرج آن را بر بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه‌مشترک[6] (ب.م.م) آن دو عدد تقسیم کنیم. برای مثال، کسر $\frac{6}{8}$ را در نظر بگیرید. ب.م.م 6 و 8، عدد 2 است. پس داریم: $\frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4}$.
برای مقایسه دو عدد گویا، بهترین روش این است که هر دو را به صورت اعشاری بنویسیم و سپس مقایسه کنیم. روش دیگر این است که مخرج‌های مشترک بگیریم. کدام بزرگ‌تر است: $\frac{2}{3}$ یا $\frac{3}{5}$؟ اگر هر دو را به اعشار تبدیل کنیم (0.666... و 0.6)، به راحتی می‌فهمیم که $\frac{2}{3}$ بزرگ‌تر است.
اعداد گویا در زندگی روزمره ما
شاید بدون آنکه بدانید، هر روز از اعداد گویا استفاده می‌کنید.
پخت و پز: در دستور پخت کیک، از شما خواسته می‌شود $\frac{3}{4}$ پیمانه شکر استفاده کنید. این یک عدد گویا است.
مدیریت زمان: اگر برای مطالعه‌ی ریاضی $\frac{1}{2}$ ساعت و برای علوم $\frac{3}{4}$ ساعت وقت بگذارید، در مجموع $\frac{5}{4}$ ساعت یا 1.25 ساعت مطالعه کرده‌اید.
خرید: اگر یک متر پارچه به قیمت 120,000 تومان بخرید و فقط به $\frac{3}{4}$ متر آن نیاز داشته باشید، باید $\frac{3}{4} \times 120,000 = 90,000$ تومان بپردازید.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
اعداد گویا، ابزاری قدرتمند برای نمایش بخش‌هایی از یک کل هستند. از تقسیم یک پیتزا تا محاسبه‌ی دقیق زمان و هزینه، این اعداد به ما کمک می‌کنند دنیای اطراف خود را به شکلی منظم و کمی توصیف کنیم. درک این اعداد نه تنها در ریاضیات، بلکه در حل مسائل روزمره نیز بسیار کاربرد دارد. به خاطر داشته باشید که ویژگی کلیدی آن‌ها، قابلیت نوشته شدن به صورت کسری با مخرجی غیر از صفر است.
پاورقی
[1] اعداد گویا (Rational Numbers): به اعدادی گفته می‌شود که بتوان آن‌ها را به صورت کسری از دو عدد صحیح نوشت.
[2] عدد صحیح (Integer): به اعداد طبیعی، قرینه‌های آن‌ها و عدد صفر گفته می‌شود (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...).
[3] صورت (Numerator): عددی که در بالای خط کسر نوشته می‌شود.
[4] مخرج (Denominator): عددی که در زیر خط کسر نوشته می‌شود و نمی‌تواند صفر باشد.
[5] عدد اعشاری دوره‌ای (Repeating Decimal): عدد اعشاری که یک یا چند رقم آن تا بی‌نهایت تکرار می‌شوند.
[6] بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه‌مشترک - ب.م.م (Greatest Common Divisor - GCD): بزرگ‌ترین عددی که هر دو عدد بر آن بخش‌پذیر باشند.
