مجموعه تهی: مفهوم هیچ در دنیای مجموعه‌ها
مجموعه تهی چیست؟
یک مجموعه، گردایه‌ای از اشیاء مشخص و متمایز است. اعضای یک مجموعه می‌توانند هر چیزی باشند: اعداد، حیوانات، اشیاء و حتی خود مجموعه‌ها. اما مجموعه تهی، مجموعه‌ای است که در آن هیچ عضوی وجود ندارد. به بیان دیگر، اگر یک کیف کاملاً خالی را در نظر بگیریم، مجموعه‌ای از وسایل داخل آن، یک مجموعه تهی است.
ویژگی اصلی مجموعه تهی این است که تعداد اعضای آن، که به آن کاردینالیتی۲ می‌گویند، برابر با 0 است. برای هر مجموعه‌ای که در نظر می‌گیرید، اگر نتوانید حتی یک عضو برای آن پیدا کنید، آن مجموعه یک مجموعه تهی است.
مثال‌هایی از دنیای اطراف ما
برای درک بهتر، به این مثال‌های عینی از زندگی روزمره توجه کنید:
- مجموعه‌ی «ماهی‌های داخل یک آکواریوم خالی» یک مجموعه تهی است.
- مجموعه‌ی «اعداد طبیعی بین 1 و 2» یک مجموعه تهی است، زیرا چنین عددی وجود ندارد.
- اگر قرار باشد مجموعه‌ی «دانش‌آموزان کلاس شما که بیش از 200 سال سن دارند» را تعریف کنید، این مجموعه نیز قطعاً یک مجموعه تهی خواهد بود!
همانطور که می‌بینید، مجموعه تهی لزوماً به معنای «هیچ» مطلق نیست، بلکه به معنای نبودن عضوی خاص در یک چارچوب مشخص است.
مجموعه تهی در عمل: عملیات پایه
وقتی مجموعه تهی را با مجموعه‌های دیگر ترکیب می‌کنیم، نتایج جالبی به دست می‌آید. در جدول زیر، نتیجه‌ی اصلی‌ترین عملیات‌ها بر روی مجموعه تهی ($\emptyset$) و یک مجموعه دلخواه مانند $A = \{1, 2, 3\}$ نشان داده شده است.
| عملیات | نماد | نتیجه و توضیح |
|---|---|---|
| اجتماع | $A \cup \emptyset$ | نتیجه برابر است با A. چون هیچ عضوی از مجموعه تهی به A اضافه نمی‌شود. |
| اشتراک | $A \cap \emptyset$ | نتیجه برابر است با مجموعه تهی. چون هیچ عضوی مشترک بین A و یک مجموعه خالی وجود ندارد. |
| تفاضل | $A - \emptyset$ | نتیجه برابر است با A. چون هیچ عضوی از A حذف نمی‌شود. |
| تفاضل | $\emptyset - A$ | نتیجه برابر است با مجموعه تهی. چون نمی‌توان از یک مجموعه خالی، عضوی را حذف کرد. |
$A \cup \emptyset = A$
$A \cap \emptyset = \emptyset$
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاورقی
۱مجموعه تهی (Empty Set): به مجموعه‌ای گفته می‌شود که هیچ عضوی نداشته باشد.
۲کاردینالیتی (Cardinality): به تعداد اعضای یک مجموعه گفته می‌شود.
