احتمال: علم پیش‌بینی شانس
احتمال چیست و چرا مهم است؟
احتمال در ساده‌ترین تعریف، یک عدد بین 0 و 1 است که نشان می‌دهد یک اتفاق چقدر احتمال دارد رخ بدهد. اگر احتمال یک پیشامد 0 باشد، یعنی آن پیشامد قطعاً رخ نمی‌دهد. اگر 1 باشد، یعنی آن پیشامد حتماً رخ خواهد داد. برای مثال، احتمال اینکه فردا شب خورشید بدرخشد صفر است، زیرا خورشید فقط در روز می‌درخشد! از طرفی، احتمال اینکه بعد از شب، صبح شود برابر با یک است.
ما هر روز ناخودآگاه از احتمال استفاده می‌کنیم. وقتی قبل از بیرون رفتن به آسمان نگاه می‌کنید و تصمیم می‌گیرید چتر همراه خود ببرید، در واقع در حال تخمین احتمال بارش باران هستید. وقتی در یک بازی تاس می‌اندازید، در حال حدس زدن احتمال آمدن یک عدد خاص هستید.
اصطلاحات پایه در دنیای احتمال
قبل از اینکه شروع به محاسبه کنیم، باید با چند کلمه کلیدی آشنا شویم:
| اصطلاح | معنی | مثال |
|---|---|---|
| آزمایش4 | یک فرآیند که نتایج مشخص اما غیرقطعی دارد. | پرتاب یک سکه |
| پیشامد2 | نتیجه یا مجموعه‌ای از نتایج یک آزمایش. | آمدن «شیر» در پرتاب سکه |
| فضای نمونه3 | مجموعه همه نتایج ممکن برای یک آزمایش. | در پرتاب سکه: {شیر، خط} |
| پیشامد مطلوب | پیشامد(هایی) که ما به وقوع آن علاقه داریم. | در پرتاب تاس، اگر عدد زوج بخواهیم: {2, 4, 6} |
چگونه احتمال را محاسبه کنیم؟
برای محاسبه احتمال رخ دادن یک پیشامد، از یک فرمول بسیار ساده استفاده می‌کنیم:
مثال ۱: پرتاب سکه
فرض کنید یک سکه سالم را پرتاب می‌کنیم. می‌خواهیم احتمال آمدن «شیر» را حساب کنیم.
- تعداد پیشامدهای مطلوب (آمدن شیر): 1
- تعداد کل پیشامدهای ممکن (شیر یا خط): 2
- پس احتمال آمدن شیر می‌شود: $ P(\text{شیر}) = \frac{1}{2} = 0.5 $
این عدد یعنی شانس آمدن شیر 50% است. به همین صورت، احتمال آمدن خط نیز 0.5 یا 50% است.
مثال ۲: پرتاب تاس
یک تاس سالم دارای ۶ وجه است که اعداد 1 تا 6 روی آن نوشته شده است.
- احتمال آمدن عدد 4 چقدر است؟
- پیشامد مطلوب: فقط آمدن عدد 4 (1 حالت)
- کل پیشامدهای ممکن: 6 حالت (1,2,3,4,5,6)
- پاسخ: $ P(4) = \frac{1}{6} $
- احتمال آمدن یک عدد فرد چقدر است؟
- پیشامدهای مطلوب: اعداد فرد یعنی 1, 3, 5 (3 حالت)
- کل پیشامدهای ممکن: 6 حالت
- پاسخ: $ P(\text{فرد}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5 $
احتمال در زندگی روزمره
بیایید چند موقعیت واقعی را با هم بررسی کنیم:
۱. پیش‌بینی آب و هوا: وقتی خبرگزاری می‌گوید «احتمال بارندگی 30% است»، یعنی از بین 100 روز مشابه از نظر شرایط جوی، در تقریباً 30 روز آن باران آمده است. این به ما کمک می‌کند تصمیم بهتری برای برنامه‌ریزی بیرون از خانه بگیریم.
۲. بازی‌های شانسی: در یک بازی ماروپله، احتمال اینکه تاس شما 6 بیاید تا از نردبان بالا بروید، فقط $ \frac{1}{6} $ است. این نشان می‌دهد که برد یا باخت در این بازی‌ها کاملاً شانسی است و نباید روی آن حساب کرد.
۳. تصمیم‌گیری: فرض کنید می‌خواهید بین دو مسیر برای رفتن به مدرسه یکی را انتخاب کنید. اگر بدانید مسیر «الف» در 8 روز از 10 روز گذشته خلوت بوده (احتمال خلوت بودن = $ \frac{8}{10} = 0.8 $) و مسیر «ب» فقط در 3 روز از 10 روز (احتمال = $ \frac{3}{10} = 0.3 $)، منطقی است که مسیر «الف» را انتخاب کنید.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
- احتمال نظری: احتمالی که با استدلال و محاسبات ریاضی به دست می‌آید (مثل احتمال آمدن شیر که از قبل می‌دانیم 0.5 است).
- احتمال تجربی: احتمالی که با انجام آزمایش و مشاهده نتایج واقعی به دست می‌آید. مثلاً اگر یک سکه را 100 بار پرتاب کنید و 47 بار شیر بیاید، احتمال تجربی شیر $ \frac{47}{100} = 0.47 $ است. با افزایش تعداد آزمایش‌ها، احتمال تجربی به احتمال نظری نزدیک‌تر می‌شود.
پاورقی
1 Probability: شاخه‌ای از ریاضیات که به عادی سازی عدم قطعیت می‌پردازد.
2 Event: نتیجه یا برآمد ممکن یک آزمایش تصادفی.
3 Sample Space: مجموعه تمام برآمدهای ممکن برای یک آزمایش.
4 Experiment: یک فرآیند مشخص که منجر به یکی از چندین برآمد ممکن می‌شود.
