نوشتن جمع برداری و جمع مختصاتی

جمع برداری و جمع مختصاتی: از مسیریابی تا بازی‌های کامپیوتری

بردار چیست و چه ویژگی‌هایی دارد؟

یک بردار کمیتی است که هم اندازه دارد و هم جهت. برای مثال، وقتی شما ۵ قدم به سمت شمال راه می‌روید، یک بردار جابجایی را ایجاد کرده‌اید. اندازه این بردار ۵ قدم و جهت آن شمال است. در مقابل، کمیت‌هایی مانند زمان یا دمای هوا فقط اندازه دارند و به آنها کمیت نرده‌ای^۴ می‌گویند.

بردارها را معمولاً با یک پیکان نشان می‌دهند. طول پیکان نشان‌دهنده اندازه بردار و جهت پیکان، جهت بردار را مشخص می‌کند.

نمایش بردارها: روش برداری و روش مختصاتی

برای کار با بردارها، دو روش نمایش رایج وجود دارد که در ادامه با هر کدام آشنا می‌شویم.

۱. نمایش برداری (Graphical Representation)

در این روش، بردار را به صورت یک پیکان روی صفحه مختصات رسم می‌کنیم. این روش بسیار ملموس و مناسب برای درک مفهوم جهت و اندازه است.

۲. نمایش مختصاتی (Component Form)

در این روش، بردار را با استفاده از دو عدد که به آنها «مؤلفه»^۵ می‌گویند، نشان می‌دهیم. این دو عدد، میزان حرکت در راستای محور x (عرض) و محور y (طول) را مشخص می‌کنند. برای مثال، بردار a = (3, 2) به این معنی است که ۳ واحد به سمت راست (محور x) و ۲ واحد به سمت بالا (محور y) حرکت کرده‌ایم.

چگونه بردارها را جمع کنیم؟

جمع بردارها به ما می‌گوید که اگر چند جابجایی پشت سر هم انجام دهیم، در نهایت نسبت به نقطه شروع در کجا قرار خواهیم گرفت. دو روش برای جمع بردارها وجود دارد.

روش اول: جمع برداری (روش هندسی)

در این روش، بردارها را به دنبال هم رسم می‌کنیم. یعنی نقطه شروع بردار دوم را به نقطه پایان بردار اول می‌چسبانیم. بردار حاصل، پیکانی است که از نقطه شروع بردار اول به نقطه پایان بردار دوم رسم می‌شود. این قانون، «روش مثلث»^۶ نام دارد.

مثال: فرض کنید از خانه خود (نقطه A) ۴ واحد به سمت شرق (بردار u) و سپس ۳ واحد به سمت شمال (بردار v) راه بروید. مکان نهایی شما (نقطه C) نسبت به خانه‌تان کجاست؟

بردار حاصل جمع (w = u + v)، پیکانی است که مستقیماً نقطه A را به نقطه C وصل می‌کند.

روش دوم: جمع مختصاتی (روش جبری)

این روش بسیار ساده و دقیق است. اگر بردارها را به صورت مختصاتی بشناسیم، برای جمع کردن آنها کافی است مؤلفه‌های x آنها را با هم و مؤلفه‌های y آنها را نیز با هم جمع کنیم.

قانون: اگر a = (ax, ay) و b = (bx, by) باشند، آنگاه:

$\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y)$

مثال از بازی فوتبال: یک بازیکن توپ را ابتدا با بردار p = (2, 1) و سپس با بردار q = (-1, 3) به جلو می‌راند. مختصات بردار حاصل جمع به این صورت محاسبه می‌شود:

p + q = (2 + (-1), 1 + 3) = (1, 4)

یعنی در نهایت توپ ۱ واحد در راستای x و ۴ واحد در راستای y جابجا شده است.

کاربرد جمع بردارها در زندگی و فناوری

شاید فکر کنید این مفاهیم فقط در کلاس ریاضی کاربرد دارند، اما مثال‌های زیادی از کاربرد آنها در اطراف ما وجود دارد.

• مسیریابی: وقتی برنامه‌ای مثل نقشه‌ی گوشی همراه، مسیر شما از خانه تا مدرسه را مشخص می‌کند، در پشت صحنه تمام خیابان‌هایی که باید طی کنید را به صورت بردارهایی در نظر می‌گیرد و با جمع کردن آنها، کوتاه‌ترین یا سریع‌ترین مسیر را به شما پیشنهاد می‌دهد.
• ورزش: در ورزش‌هایی مانند فوتبال یا بسکتبال، بازیکنان دائماً در حال حرکت هستند. مربیان با تحلیل بردارهای سرعت و موقعیت بازیکنان، تاکتیک‌های بازی را طراحی می‌کنند.
• بازی‌های کامپیوتری: وقتی در یک بازی، شخصیت شما از نقطه‌ای به نقطه دیگر می‌پرد یا یک توپ پرتاب می‌شود، کامپیوتر با استفاده از جمع بردارها و محاسبات مختصاتی، مسیر حرکت را شبیه‌سازی می‌کند.
• هوانوردی: خلبانان برای تعیین مسیر درست پرواز، باید اثر باد را در نظر بگیرند. سرعت هواپیما یک بردار و سرعت باد بردار دیگری است. بردار حاصل جمع، مسیر واقعی هواپیما نسبت به زمین را نشان می‌دهد.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

^۱جمع برداری (Vector Sum): عملیات ترکیب دو یا چند بردار برای یافتن بردار حاصل.

^۲جمع مختصاتی (Coordinate Sum): روشی برای جمع بردارها با جمع جبری مؤلفه‌های متناظر آنها.

^۳بردار (Vector): کمیتی فیزیکی یا ریاضی که دارای اندازه و جهت است.

^۴کمیت نرده‌ای (Scalar Quantity): کمیتی که فقط دارای اندازه است و فاقد جهت.

^۵مؤلفه (Component): تصویر یک بردار بر روی یکی از محورهای مختصات.

^۶قانون مثلث (Triangle Rule): یک روش هندسی برای جمع دو بردار با قرار دادن شروع بردار دوم در انتهای بردار اول.