پیدا کردن مختصات بردارهای ترکیبی

مختصات بردارهای ترکیبی: نقشه‌کشی حرکت و نیرو

بردار چیست و مختصات آن چگونه نشان داده می‌شود؟

یک بردار^۴ کمیتی است که هم اندازه^۵ و هم جهت^۶ دارد. برای نشان دادن آن در صفحه، از یک پیکان استفاده می‌کنیم. طول پیکان نشان‌دهنده اندازه بردار و جهت آن، نشان‌دهنده مسیر حرکت است. هر بردار در صفحه مختصات با دو عدد، یکی در راستای محور x (عرض) و دیگری در راستای محور y (طول) مشخص می‌شود که به آن‌ها مختصات بردار می‌گوییم و به صورت $\vec{v} = (x, y)$ نمایش می‌دهیم.

مثال: فرض کنید هواپیمایی از نقطه (0,0) شروع به پرواز کند و پس از مدتی به نقطه (3,4) برسد. بردار جابجایی^۷ این هواپیما $\vec{v} = (3, 4)$ است. عدد ۳ نشان می‌دهد هواپیما ۳ واحد به سمت راست (در جهت مثبت محور x) و عدد ۴ نشان می‌دهد ۴ واحد به سمت بالا (در جهت مثبت محور y) حرکت کرده است.

چگونه بردارها را با هم جمع می‌کنیم؟

برای جمع دو بردار، کافی است مختصات متناظر آن‌ها (یعنی مختصات xها و yها) را با هم جمع کنیم. اگر $\vec{a} = (a_x, a_y)$ و $\vec{b} = (b_x, b_y)$ باشند، آنگاه بردار حاصل از جمع آن‌ها به صورت زیر است:

$\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y)$

مثال: تصور کنید شما ابتدا $\vec{u} = (2, 1)$ قدم بردارید (۲ قدم به شرق، ۱ قدم به شمال). سپس $\vec{w} = (1, 3)$ قدم بردارید (۱ قدم به شرق، ۳ قدم به شمال). بردار جابجایی کل شما خواهد بود: $\vec{u} + \vec{w} = (2+1, 1+3) = (3, 4)$. یعنی در نهایت ۳ قدم به شرق و ۴ قدم به شمال حرکت کرده‌اید.

تفریق بردارها چگونه انجام می‌شود؟

تفریق بردارها نیز مشابه جمع است، با این تفاوت که مختصات متناظر را از هم کم می‌کنیم. اگر $\vec{a} = (a_x, a_y)$ و $\vec{b} = (b_x, b_y)$ باشند، آنگاه:

$\vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x, a_y - b_y)$

مثال: فرض کنید موقعیت یک کشتی نسبت به ساحل با بردار $\vec{s} = (8, 5)$ نشان داده شود و موقعیت یک فانوس دریایی $\vec{l} = (3, 2)$ باشد. بردار فاصله کشتی تا فانوس دریایی است: $\vec{s} - \vec{l} = (8-3, 5-2) = (5, 3)$. یعنی کشتی برای رسیدن به فانوس باید ۵ واحد به سمت غرب و ۳ واحد به سمت جنوب حرکت کند (اگر جهت‌های مثبت را شرق و شمال در نظر گرفته باشیم).

ضرب یک عدد در بردار چه مفهومی دارد؟

وقتی یک بردار را در یک عدد حقیقی (مثلاً ۲ یا ۰.۵ یا -۱) ضرب می‌کنیم، در واقع اندازه آن را تغییر می‌دهیم و ممکن است جهت آن را معکوس کنیم. برای این کار، هر یک از مختصات بردار را در آن عدد ضرب می‌کنیم. اگر $\vec{a} = (a_x, a_y)$ و k یک عدد باشد، آنگاه:

$k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_x, k \cdot a_y)$

مثال: در یک بازی کامپیوتری، سرعت شخصیت شما با بردار $\vec{v} = (2, 1)$ نشان داده می‌شود. اگر یک قدرت‌افزایی^۸ پیدا کنید که سرعت شما را دو برابر کند، بردار سرعت جدید شما می‌شود: $2 \cdot \vec{v} = (2 \times 2, 2 \times 1) = (4, 2)$. اگر هم به یک تله برخورد کنید که سرعت شما را در جهت مخالف قرار دهد (یعنی در -۱ ضرب شود)، بردار سرعت شما می‌شود: $-1 \cdot \vec{v} = (-2, -1)$.

کاربرد بردارهای ترکیبی در زندگی واقعی

این عملیات تنها در کتاب‌های ریاضی نیستند! هنگامی که با برنامه‌ریزی سفر درون‌شهری با چندین وسیله نقلیه سر و کار دارید، در حال ترکیب بردارها هستید. بردار جابجایی با اتوبوس ممکن است $(5, 0)$ باشد (۵ کیلومتر به سمت شرق). سپس بردار جابجایی با مترو $(0, 3)$ باشد (۳ کیلومتر به سمت شمال). بردار جابجایی کل شما از جمع این دو به دست می‌آید: $(5, 3)$. حتی در ورزش، وقتی توپی را به بازیکنی پاس می‌دهید و او همزمان در حال دویدن است، بردار سرعت نهایی توپ حاصل جمع بردار پاس شما و بردار سرعت دویدن اوست.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

^۱ جمع (Vector Addition) ^۲ تفریق (Vector Subtraction) ^۳ ضرب در عدد (Scalar Multiplication) ^۴ بردار (Vector) ^۵ اندازه (Magnitude) ^۶ جهت (Direction) ^۷ جابجایی (Displacement) ^۸ قدرت‌افزایی (Power-up) ^۹ خاصیت جابجایی (Commutative Property) ^۱۰ قرینه (Opposite Vector)