حل معادله‌های کسری: پیدا کردن مقدار مجهول
معادله کسری چیست؟
یک معادله کسری[2] معادله‌ای است که در آن حداقل یک جمله شامل کسر باشد و متغیر (مثلاً $ x $) در صورت[3] یا مخرج[4] کسر قرار داشته باشد. برای مثال، معادله‌ی $ \frac{x}{2} + 3 = 7 $ یک معادله کسری ساده است. هدف از حل این معادلات، پیدا کردن مقداری برای متغیر است که معادله را برقرار کند.
روش حل معادلات کسری در چهار گام
برای حل هر معادله کسری، می‌توانیم از یک روش سیستماتیک و آسان پیروی کنیم. این روش بر پایه‌ی حذف کسرها با استفاده از کوچک‌ترین مخرج مشترک است.
| گام | شرح | مثال: $ \frac{x}{3} = 4 $ |
|---|---|---|
| 1 | پیدا کردن کوچک‌ترین مخرج مشترک (م.م.م)[5] همه‌ی کسرهای موجود در معادله | مخرج‌ها: 3 → م.م.م = 3 |
| 2 | ضرب کردن هر دو طرف معادله در م.م.م برای حذف کسرها | $ 3 \times \frac{x}{3} = 3 \times 4 $ |
| 3 | ساده‌سازی معادله و حل آن مانند یک معادله‌ی خطی ساده | $ x = 12 $ |
| 4 | بررسی جواب به وسیله‌ی جایگذاری مقدار به دست آمده در معادله‌ی اصلی | $ \frac{12}{3} = 4 $ → درست است |
حل یک مثال کامل با توضیح گام‌به‌گام
فرض کنید معادله‌ی $ \frac{x}{4} + \frac{1}{2} = 3 $ را داریم. می‌خواهیم مقدار $ x $ را پیدا کنیم.
گام ۱: پیدا کردن م.م.م مخرج‌ها. مخرج‌ها 4 و 2 هستند. کوچک‌ترین عددی که بر هر دو بخش‌پذیر باشد، 4 است. پس م.م.م = 4.
گام ۲: هر دو طرف معادله را در 4 ضرب می‌کنیم:
$ 4 \times (\frac{x}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \times 3 $
گام ۳: معادله را ساده می‌کنیم:
$ 4 \times \frac{x}{4} + 4 \times \frac{1}{2} = 12 $
$ x + 2 = 12 $
حالا معادله ساده شده است. عدد 2 را از دو طرف کم می‌کنیم:
$ x + 2 - 2 = 12 - 2 $
$ x = 10 $
گام ۴: جواب را بررسی می‌کنیم. مقدار 10 را به جای $ x $ در معادله‌ی اصلی قرار می‌دهیم:
$ \frac{10}{4} + \frac{1}{2} = 2.5 + 0.5 = 3 $
چون دو طرف معادله برابر شد، جواب ما درست است.
کاربرد معادلات کسری در زندگی روزمره
معادلات کسری فقط در کتاب‌های ریاضی نیستند؛ آن‌ها در بسیاری از موقعیت‌های واقعی کاربرد دارند. به این مثال‌ها توجه کنید:
مثال ۱: تقسیم منصفانه‌ی یک پیتزا
شما و سه دوستتان یک پیتزای کامل دارید. اگر بدانید که مجموع سهم شما و دوستتان $ \frac{3}{4} $ پیتزا است، سهم شما چقدر است؟ اگر سهم دوستتان $ \frac{1}{4} $ باشد، معادله به صورت $ \frac{1}{4} + x = \frac{3}{4} $ خواهد بود که با حل آن متوجه می‌شوید سهم شما $ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $ پیتزا است.
مثال ۲: محاسبه‌ی سرعت متوسط
اگر شما مسافت 12 کیلومتری را در 3 ساعت دوچرخه‌سواری کنید، سرعت متوسط شما چقدر است؟ فرمول سرعت $ \frac{مسافت}{زمان} = سرعت $ است. پس $ \frac{12}{3} = v $ که سرعت $ v $ برابر 4 کیلومتر بر ساعت می‌شود.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاورقی
[1]کوچک‌ترین مخرج مشترک (Least Common Denominator - LCD): کوچک‌ترین عددی که بر همه‌ی مخرج‌های موجود در کسرهای یک معادله بخش‌پذیر باشد.
[2]معادله کسری (Fractional Equation): معادله‌ای که در آن عبارت‌های کسری وجود داشته و متغیر در صورت یا مخرج آن‌ها قرار دارد.
[3]صورت (Numerator): عدد یا عبارت بالای خط کسر.
[4]مخرج (Denominator): عدد یا عبارت زیر خط کسر.
[5]م.م.م (Least Common Multiple - LCM): کوچک‌ترین مضرب مشترک. برای مخرج‌ها، همان کوچک‌ترین مخرج مشترک است.
