بردار انتقال: جابه‌جایی یک نقطه یا شکل در صفحه با استفاده از یک بردار مشخص

بردار انتقال: نقشه‌ی جابه‌جایی

بردار انتقال چیست؟

فرض کنید می‌خواهید یک مهره را روی صفحه‌ی شطرنج از یک خانه به خانه‌ی دیگر حرکت دهید. این جابه‌جایی دارای دو ویژگی مهم است: جهت و مقدار (یا اندازه). بردار انتقال دقیقاً همین دو ویژگی را نشان می‌دهد. این بردار مانند یک دستورالعمل یا یک نقشه‌ی کوچک است که به ما می‌گوید نقطه یا شکل مورد نظرمان را چقدر و در کدام سمت حرکت دهیم.

یک بردار انتقال معمولاً با یک فلش نمایش داده می‌شود. طول فلش نشان‌دهنده‌ی مقدار جابه‌جایی و جهت فلش نشان‌دهنده‌ی مسیر حرکت است. در ریاضی، این بردار را با دو عدد نشان می‌دهند که به آن‌ها مولفه^۱ می‌گویند. برای مثال، بردار $\overrightarrow{AB} = (3, 2)$ به این معنی است که نقطه باید 3 واحد به راست و 2 واحد به بالا حرکت کند.

مولفه‌های بردار و نحوه‌ی محاسبه‌ی آن‌ها

همان‌طور که گفتیم، یک بردار انتقال دارای دو مولفه است: مولفه‌ی افقی (حرکت چپ یا راست) و مولفه‌ی عمودی (حرکت بالا یا پایین). این مولفه‌ها می‌توانند اعداد مثبت، منفی یا حتی صفر باشند. علامت این اعداد جهت حرکت را مشخص می‌کند.

مثال: فرض کنید بردار انتقال $\vec{v} = (-2, 4)$ را داریم. این بردار به ما دستور می‌دهد که نقطه را 2 واحد به چپ (چون مولفه‌ی افقی منفی است) و 4 واحد به بالا (چون مولفه‌ی عمودی مثبت است) حرکت دهیم.

انتقال یک شکل هندسی

برای جابه‌جایی یک شکل هندسی مانند یک مثلث یا مربع، کافی است همه‌ی نقطه‌های گوشه (رأس‌های) آن شکل را دقیقاً با یک بردار انتقال یکسان جابه‌جا کنیم. وقتی تمام رأس‌ها منتقل شدند و آن‌ها را به هم وصل کردیم، شکل جدید در مکان جدید خودش ظاهر می‌شود. نکته‌ی مهم این است که در انتقال، شکل چرخش نمی‌خورد و اندازه آن نیز تغییر نمی‌کند؛ فقط مکان آن عوض می‌شود.

مثال عملی: حرکت دادن یک مبل در اتاق. شما مبل را بلند می‌کنید و در جای دیگری از اتاق قرار می‌دهید. مبل همان مبل است (اندازه و شکلش عوض نشده)، فقط جای آن تغییر کرده است. بردار انتقال در این مثال، مسیر و فاصله‌ای است که مبل طی کرده است.

حل گام‌به‌گام یک مثال

مثلثی با رأس‌های $A(1, 2)$، $B(4, 1)$ و $C(3, 5)$ با بردار $\vec{v} = (2, -3)$ منتقل می‌شود. مکان جدید رأس‌ها را پیدا کنید.

گام اول: شناسایی مولفه‌های بردار. a = 2 (حرکت به راست)، b = -3 (حرکت به پایین).

گام دوم: اعمال فرمول بر روی هر رأس.

• برای نقطه‌ی A: $x' = 1 + 2 = 3$ و $y' = 2 + (-3) = -1$. پس $A'(3, -1)$
• برای نقطه‌ی B: $x' = 4 + 2 = 6$ و $y' = 1 + (-3) = -2$. پس $B'(6, -2)$
• برای نقطه‌ی C: $x' = 3 + 2 = 5$ و $y' = 5 + (-3) = 2$. پس $C'(5, 2)$

گام سوم: رأس‌های جدید $A'$، $B'$ و $C'$ را به هم وصل می‌کنیم تا مثلث منتقل‌شده به دست آید.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

^۱مولفه (Component): به هر یک از دو عددی که بردار انتقال را تعریف می‌کنند، مولفه می‌گویند. مولفه‌ی اول حرکت افقی و مولفه‌ی دوم حرکت عمودی را نشان می‌دهد.

^۲بردار (Vector): یک کمیت که هم اندازه و هم جهت دارد. (Translation Vector)

^۳انتقال (Translation): یک تبدیل هندسی که هر نقطه از یک شکل را به اندازه‌ی یکسان و در یک جهت مشخص جابه‌جا می‌کند.