علامت‌ها در ضرب و تقسیم: راز تعداد منفی‌ها
اعداد صحیح و علامت‌های آن‌ها
اعداد صحیح، مجموعه‌ای از اعداد طبیعی، قرینه‌های آن‌ها و عدد صفر هستند. ما آن‌ها را با علامت‌های مثبت (+) و منفی (-) نشان می‌دهیم. علامت مثبت معمولاً برای نشان دادن سود، افزایش یا چیزهای اضافی به کار می‌رود. علامت منفی هم برای نشان دادن ضرر، کاهش یا کمبود استفاده می‌شود. برای مثال، اگر در بازی ۵ امتیاز بگیرید، می‌توانیم آن را با عدد +5 نشان دهیم و اگر ۳ امتیاز از دست بدهید، با عدد -3 نمایش داده می‌شود.
قانون طلایی: تعداد علامت‌های منفی
برای فهمیدن علامت حاصلضرب یا حاصل‌تقسیم چند عدد صحیح، کافی است تعداد علامت‌های منفی را بشمارید. این قانون بسیار ساده است:
- اگر تعداد علامت‌های منفی زوج (مانند ۰، ۲، ۴، ...) باشد، علامت حاصل مثبت خواهد بود.
- اگر تعداد علامت‌های منفی فرد (مانند ۱، ۳، ۵، ...) باشد، علامت حاصل منفی خواهد بود.
این قانون برای هر تعداد عدد در عمل ضرب یا تقسیم صادق است. بیایید این قانون را در یک جدول خلاصه کنیم:
| تعداد عوامل منفی | نوع تعداد (زوج/فرد) | علامت نهایی حاصل | مثال |
|---|---|---|---|
| 0 | زوج | مثبت | $ (+4) \times (+2) = +8 $ |
| 1 | فرد | منفی | $ (-5) \times (+3) = -15 $ |
| 2 | زوج | مثبت | $ (-2) \times (-3) = +6 $ |
| 3 | فرد | منفی | $ (-1) \times (-2) \times (-3) = -6 $ |
علامت‌ها در عمل: از کلاس درس تا زندگی واقعی
حالا بیایید با چند مثال از دنیای اطرافمان، این قانون را در عمل ببینیم.
مثال ۱: برنامه‌ریزی برای خرید
فرض کنید هر هفته 5000 تومان از پول تو جیبی‌تان را پس‌انداز می‌کنید. ما این را با عدد مثبت +5000 نشان می‌دهیم. حالا اگر ۴ هفته این کار را ادامه دهید، پس‌انداز شما می‌شود: $ 4 \times (+5000) = +20000 $. نتیجه مثبت است، یعنی پول شما افزایش یافته است. (تعداد عوامل منفی: صفر - زوج - نتیجه مثبت)
مثال ۲: جریمهٔ دیرکرد
فرض کنید برای هر روز دیرکرد در تحویل کتاب کتابخانه، 2000 تومان جریمه می‌شوید. این یک «کمبود» یا «ضرر» است، پس آن را با عدد منفی -2000 نشان می‌دهیم. اگر ۳ روز دیر کنید، حساب شما می‌شود: $ 3 \times (-2000) = -6000 $. نتیجه منفی است، یعنی پول شما کاهش یافته است. (تعداد عوامل منفی: یک - فرد - نتیجه منفی)
مثال ۳: لغو جریمه
حالا فرض کنید کتابدار مهربانی دو جریمهٔ 2000 تومانی شما را ببخشد. «بخشیدن یک جریمه» مانند این است که یک منفی را حذف کنیم، یا به عبارت ریاضی، در -1 ضرب کنیم (چون بخشیدن جریمه، اثر عکس جریمه گرفتن دارد). پس می‌شود: $ (-1) \times (-2000) = +2000 $. حالا اگر دو جریمه بخشیده شود: $ 2 \times (-1) \times (-2000) = +4000 $. اینجا دو عامل منفی داریم (دو بار بخشیدن)، که تعدادش زوج است، پس نتیجه مثبت می‌شود و پول شما به حسابتان برمی‌گردد.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: بله، دقیقاً همین قانون برای عمل تقسیم هم برقرار است. برای مثال، $ (-12) \div (+3) = -4 $ (یک عامل منفی - فرد - نتیجه منفی) و $ (-12) \div (-3) = +4 $ (دو عامل منفی - زوج - نتیجه مثبت).
پاسخ: یک اشتباه رایج این است که دانش‌آموزان فکر می‌کنند اگر جواب ضرب دو عدد منفی، مثبت می‌شود، پس حتماً خود آن اعداد باید بزرگ باشند! در حالی که اینطور نیست. مثلاً $ (-1) \times (-1) = +1 $ می‌شود. مهم تعداد علامت‌های منفی است، نه اندازهٔ خود اعداد.
پاسخ: اگر یکی از اعداد صفر باشد، حاصل ضرب یا تقسیم (در صورت تقسیم صفر بر عددی غیرصفر) برابر با صفر می‌شود. صفر نه مثبت است و نه منفی. پس در این حالت، قانون علامت‌ها برای خود عدد صفر کاربرد ندارد، چون نتیجه بدون علامت (صفر) است.
در این مقاله یاد گرفتیم که برای تعیین علامت حاصل ضرب یا تقسیم اعداد صحیح، نیازی به انجام کامل محاسبه نیست. کافی است تعداد عوامل منفی را بشماریم. اگر این تعداد زوج بود، حاصل مثبت و اگر فرد بود، حاصل منفی خواهد بود. این قانون یک ابزار قدرتمند و سریع برای حل مسائل ریاضی است. با به خاطر سپردن این قانون ساده و تمرین با مثال‌های مختلف، به راحتی بر این مبحث مسلط خواهید شد.
پاورقی
1 اعداد صحیحIntegers: به مجموعه اعداد طبیعی، قرینه‌های آن‌ها و عدد صفر گفته می‌شود. . . . 2 حاصلضربProduct: نتیجه عمل ضرب. . . . 3 عواملFactors: اعدادی که در هم ضرب می‌شوند.