زاویه‌ی دوران: وقتی شکل‌ها می‌چرخند!
زاویه‌ی دوران چیست؟
فرض کنید یک شکل هندسی، مثل یک مثلث کاغذی، روی میز قرار دارد. اگر شما آن را حول یک سوزن که در یک نقطه‌ی خاص فرو کرده‌اید بچرخانید، در واقع یک دوران انجام داده‌اید. به این نقطه‌ی ثابت، مرکز دوران۱ می‌گویند. مقدار این چرخش را با عددی نشان می‌دهند که به آن زاویه‌ی دوران۲ می‌گویند و واحد آن درجه۳ است. یک دایره‌ی کامل 360 درجه است.
یک مثال ساده: وقتی شما دستگیره‌ی در را می‌چرخانید تا در باز شود، در حول لولای خود که نقش مرکز دوران را دارد، می‌چرخد. اگر در را فقط کمی باز کنید، زاویه‌ی دوران کوچک است. اگر آن را کاملاً باز کنید تا به دیوار برسد، این زاویه بزرگ‌تر است (مثلاً 90 درجه).
انواع زاویه‌های دوران پرکاربرد
بعضی زاویه‌های دوران بیشتر از بقیه استفاده می‌شوند. در جدول زیر، سه زاویه‌ی مهم و ویژگی‌های آن‌ها را مشاهده می‌کنید:
| نام زاویه | اندازه (درجه) | توضیح و مثال |
|---|---|---|
| چرخش یک‌چهارم دور | 90 | مانند حرکت عقربه‌ی دقیقه‌شمار از عدد 12 به عدد 3 روی ساعت. شکل، یک چهارم دایره‌ی کامل می‌چرخد. |
| چرخش نیم‌دور | 180 | مانند وقتی که از آینه نگاه می‌کنید. تصویر شما برعکس دیده می‌شود. شکل کاملاً پشت‌و‌رو می‌شود. |
| چرخش سه‌چهارم دور | 270 | این چرخش، معادل یک چرخش 90 درجه در جهت عکس است. مثلاً چرخش از عدد 12 به عدد 9 روی ساعت. |
چگونه زاویه‌ی دوران را تشخیص دهیم؟
برای تشخیص زاویه‌ی دوران، باید به جایگاه شکل قبل از چرخش و بعد از چرخش نگاه کنید. فرض کنید یک فلش به سمت بالا داریم. اگر این فلش حول مرکز خود بچرخد، جهت آن تغییر می‌کند:
- اگر بعد از چرخش به سمت راست اشاره کند، زاویه‌ی دوران 90 درجه بوده است.
- اگر به سمت پایین اشاره کند، زاویه‌ی دوران 180 درجه بوده است.
- اگر به سمت چپ اشاره کند، زاویه‌ی دوران 270 درجه بوده است.
می‌توانیم این رابطه را با یک فرمول ساده نیز نشان دهیم. اگر یک نقطه با مختصات $(x, y)$ حول مبدأ مختصات ($(0,0)$) بچرخد، مختصات جدید آن برای چرخش 90 درجه برابر است با $(-y, x)$.
دوران در زندگی روزمره
شاید فکر کنید دوران فقط یک مفهوم ریاضی است، اما مثال‌های زیادی از آن در اطراف ما وجود دارد:
- چرخش زمین: زمین در هر 24 ساعت یک بار به دور خودش می‌چرخد (یک دور کامل یا 360 درجه) که باعث به وجود آمدن روز و شب می‌شود.
- چرخش پروانه‌ی هلیکوپتر: پره‌های هلیکوپتر با سرعت زیاد حول یک مرکز ثابت می‌چرخند تا آن را از زمین بلند کنند.
- چرخش صفحه‌ی میکر: وقتی غذایی را در مایکروفر گرم می‌کنید، صفحه‌ی داخل آن می‌چرخد تا غذا به طور یکنواخت حرارت ببیند.
- چرخش کلید در قفل: وقتی کلید را در قفل می‌چرخانید، مکانیزم داخلی قفل می‌چرخد و در باز یا قفل می‌شود.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: خیر. در یک دوران صحیح، شکل فقط می‌چرخد و اندازه‌ی آن کوچک یا بزرگ نمی‌شود. به این ویژگی، همریختگی۴ می‌گویند.
پاسخ: دقیقاً به جای اول خود برمی‌گردد. انگار که هیچ چرخشی اتفاق نیفتاده است!
پاسخ: بله! معمولاً چرخش در جهت پادساعت‌گرد۵ (برخلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت) را به عنوان چرخش مثبت در نظر می‌گیرند. چرخش در جهت ساعت‌گرد۶، یک چرخش منفی است. مثلاً چرخش 270 درجه در جهت پادساعت‌گرد، همان نتیجه‌ی چرخش -90 درجه (یعنی 90 درجه در جهت ساعت‌گرد) را دارد.
پاورقی
۱ مرکز دوران (Center of Rotation): نقطه‌ای ثابت که شکل حول آن می‌چرخد.
۲ زاویه‌ی دوران (Angle of Rotation): اندازه‌ی چرخش شکل، بر حسب درجه.
۳ درجه (Degree): یکای اندازه‌گیری زاویه.
۴ همریختگی (Isometry): تبدیلاتی که در آن‌ها اندازه‌ها و فاصله‌ها حفظ می‌شوند.
۵ پادساعت‌گرد (Counterclockwise): جهت چرخش برخلاف حرکت عقربه‌های ساعت.
۶ ساعت‌گرد (Clockwise): جهت چرخش موافق با حرکت عقربه‌های ساعت.