ساخت عددهای سه رقمی با روش درختی
عدد سه رقمی و ارزش مکانی آن
یک عدد سه رقمی از سه رقم تشکیل شده است: صدگان، دهگان و یکان. برای مثال، در عدد 375، رقم 3 در جایگاه صدگان، رقم 7 در جایگاه دهگان و رقم 5 در جایگاه یکان قرار دارد. این عدد را می‌توان به صورت $3 \times 100 + 7 \times 10 + 5 \times 1$ نشان داد.
فرض کنید می‌خواهیم با ارقام 4، 5 و 6، بدون تکرار رقم، عددهای سه رقمی بسازیم. برای درک بهتر، این فرآیند را مانند انتخاب یک قفل سه رقمی جدید تصور کنید.
روش درختی چگونه عمل می‌کند؟
روش درختی یک ابزار تصویری است که تمام حالت‌های ممکن را به صورت شاخه‌های یک درخت نشان می‌دهد. هر شاخه نشان‌دهنده یک انتخاب برای یک رقم است.
برای مثال با ارقام 1، 2، 3:
- برای انتخاب رقم صدگان، 3 انتخاب داریم (1، 2 یا 3).
- پس از انتخاب صدگان، برای دهگان 2 انتخاب باقی می‌ماند.
- در پایان، برای یکان فقط 1 انتخاب خواهیم داشت.
پس طبق فرمول: $3 \times 2 \times 1 = 6$ عدد مختلف می‌توان ساخت.
| ردیف | عدد سه رقمی | شرح |
|---|---|---|
| 1 | 123 | صدگان=1، دهگان=2، یکان=3 |
| 2 | 132 | صدگان=1، دهگان=3، یکان=2 |
| 3 | 213 | صدگان=2، دهگان=1، یکان=3 |
| 4 | 231 | صدگان=2، دهگان=3، یکان=1 |
| 5 | 312 | صدگان=3، دهگان=1، یکان=2 |
| 6 | 321 | صدگان=3، دهگان=2، یکان=1 |
کاربرد روش درختی با شرط زوج بودن
حالا فرض کنید می‌خواهیم فقط عددهای سه رقمی زوج با ارقام 2، 3، 4 و 5 (بدون تکرار) بسازیم. یک عدد زوج است اگر رقم یکان آن 0، 2 یا 4 باشد. در این مجموعه ارقام، فقط 2 و 4 زوج هستند.
در روش درختی، ابتدا یکان را انتخاب می‌کنیم (چون شرط روی آن است). سپس به سراغ انتخاب دهگان و صدگان می‌رویم. این کار مانند آن است که برای یک مسابقه، ابتدا جایزه را مشخص کنید و سپس برندگان را انتخاب نمایید.
| رقم یکان (زوج) | عددهای سه رقمی ممکن | تعداد |
|---|---|---|
| 2 | 342, 352, 432, 452, 532, 542 | 6 |
| 4 | 234, 254, 324, 354, 524, 534 | 6 |
در این حالت، از آنجا که ۲ انتخاب برای یکان (ارقام زوج) داریم و پس از آن برای هر حالت، 3 انتخاب برای صدگان و 2 انتخاب برای دهگان باقی می‌ماند، تعداد کل اعداد زوج $2 \times 3 \times 2 = 12$ خواهد بود.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: در این حالت، در هر مرحله از ساختن عدد (انتخاب صدگان، دهگان، یکان) تمام ارقام در دسترس هستند. برای مثال، با ارقام 1, 2, 3 می‌توان اعداد 111, 112 و ... را نیز ساخت. تعداد کل اعداد در این حالت $3 \times 3 \times 3 = 27$ عدد خواهد بود.
پاسخ: خیر! از این روش می‌توان برای شمردن حالت‌های مختلف در بسیاری از مسائل، مانند ساختن عددهای چهار رقمی، انتخاب ترتیب افراد در یک صف، یا حتی انتخاب لباس‌های مختلف استفاده کرد. این روش یک ابزار عمومی برای شمردن سیستماتیک است.
پاسخ: یک اشتباه رایج، فراموش کردن شرط مسئله (مثل زوج بودن) در حین رسم درخت است. همیشه باید مطمئن شوید که از ابتدا، شاخه‌هایی که شرط را نقض می‌کنند، رسم نمی‌شوند یا شمارش نمی‌شوند. همچنین دقت به ترتیب انتخاب مراحل (مثلاً شروع از یکان وقتی شرط روی آن است) بسیار مهم می‌باشد.
پاورقی
۱رقم یکان (Units Digit): به سمت‌چپ‌ترین رقم در نمایش یک عدد گفته می‌شود. برای مثال در عدد ۲۵۸، رقم ۸ رقم یکان است. یک عدد زمانی زوج است که رقم یکان آن یکی از اعداد ۰، ۲، ۴، ۶ یا ۸ باشد.
۲درخت احتمال (Probability Tree): یک نمودار شاخه‌ای که برای نمایش همه نتایج ممکن یک آزمایش استفاده می‌شود. در این مقاله، از این نمودار برای نمایش تمام ترکیبات ممکن ارقام استفاده کردیم.
۳عدد سه رقمی (Three-digit Number): عددی که بین ۱۰۰ و ۹۹۹ قرار دارد و از سه رقم تشکیل شده است.