زاویه مکمل: دوستانی که همیشه با هم ۱۸۰ درجه میسازند
زاویه مکمل چیست؟
در هندسه، هر گاه مجموع اندازههای دو زاویه دقیقاً برابر با 180 درجه باشد، به آن دو زاویه، «زاویههای مکمل»۱ میگویند. به بیان سادهتر، این دو زاویه یک نیمخط (یک خط صاف) را تشکیل میدهند. اگر یکی از زاویهها را بشناسیم، به راحتی میتوانیم زاویه مکمل آن را پیدا کنیم.
اگر اندازه یک زاویه $A$ درجه باشد، اندازه زاویه مکمل آن برابر است با: $180 - A$
مثال: اگر اندازه یک زاویه 70 درجه باشد، اندازه زاویه مکمل آن برابر است با: 180 - 70 = 110 درجه. این دو زاویه (70 و 110) با هم مکمل هستند.
انواع زاویههای مکمل
زاویههای مکمل را میتوان به دو دسته کلی تقسیم کرد:
۱. زاویههای مجاور مکمل: این زاویهها در کنار یکدیگر و روی یک خط مستقیم قرار گرفتهاند و یک ضلع مشترک دارند. مجموع آنها یک خط راست میسازد. برای مثال، دو زاویه مجاور در یک مثلث یا زاویههای ایجاد شده توسط یک خط مورب روی یک خط راست از این نوع هستند.
۲. زاویههای غیر مجاور مکمل: این زاویهها لزوماً در کنار هم قرار ندارند، اما مجموع اندازههای آنها همچنان 180 درجه است. برای مثال، دو زاویه متقابل به رأس در یک شکل هندسی ممکن است مکمل یکدیگر باشند.
محاسبه و شناسایی زاویه مکمل
برای کار با زاویههای مکمل، باید بتوانیم آنها را شناسایی و محاسبه کنیم. جدول زیر نمونههایی از این محاسبات را نشان میدهد.
| زاویه داده شده (درجه) | فرمول محاسبه | زاویه مکمل (درجه) | وضعیت |
|---|---|---|---|
| 30 | $180 - 30$ | 150 | مکمل |
| 90 | $180 - 90$ | 90 | زاویه قائمه |
| 135 | $180 - 135$ | 45 | مکمل |
| 180 | $180 - 180$ | 0 | زاویه صفر |
همانطور که در جدول میبینید، زاویه 90 درجه، مکمل خودش است و به آن زاویه قائمه میگویند. همچنین، زاویه 180 درجه، یک زاویه نیمخط است و مکمل آن، زاویهای با اندازه صفر درجه خواهد بود.
کاربرد زاویههای مکمل در دنیای واقعی
شاید فکر کنید زاویههای مکمل فقط یک مفهوم کتابی هستند، اما آنها در اطراف ما و در بسیاری از سازهها و پدیدهها حضور دارند:
۱. معماری و ساختمانسازی: مهندسان برای ایجاد استحکام در سازهها، مثلاً در چهارچوب درها و پنجرهها یا در طراحی سقفهای شیبدار، از زاویههای مکمل استفاده میکنند تا اطمینان حاصل کنند که تمام اجزا به درستی در کنار هم قرار میگیرند و یک خط صاف (مجموع 180 درجه) را تشکیل میدهند.
۲. طراحی و هنر: هنرمندان برای ایجاد ترکیببندیهای متعادل و چشمنواز در نقاشیها و طراحیهای گرافیکی، از رابطه بین زاویهها، از جمله زاویههای مکمل، استفاده میکنند.
۳. نجوم: در نجوم، برای محاسبه موقعیت ستارهها و سیارات نسبت به یکدیگر، مفهوم زاویه و روابط بین آنها، از جمله مکمل بودن، بسیار مهم است.
مثال عملی: وقتی یک نردبان را به دیوار تکیه میدهید، زاویهای که بین نردبان و زمین ایجاد میشود و زاویهای که بین نردبان و دیوار به وجود میآید، اگر با هم جمع شوند، باید 180 درجه شود تا نردبان به طور ایمن و محکم بایستد.
تفاوت زاویه مکمل و متمم
یک اشتباه رایج، خلط کردن مفهوم زاویه مکمل با زاویه متمم۲ است. این دو مفهوم مرتبط اما متفاوت هستند. جدول زیر تفاوت کلیدی آنها را نشان میدهد.
| ویژگی | زاویههای مکمل | زاویههای متمم |
|---|---|---|
| مجموع زاویهها | 180 درجه | 90 درجه |
| شکل ایجاد شده | یک خط راست (نیمخط) | یک زاویه قائمه |
| مثال | 120 و 60 درجه | 30 و 60 درجه |
به خاطر سپردن این تفاوت بسیار مهم است: مکمل برای خط راست (180 درجه) و متمم برای زاویه راست (90 درجه).
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
خیر. زیرا بزرگترین زاویه حاده کوچکتر از 90 درجه است. اگر دو زاویه حاده را با هم جمع کنیم، حداکثر حاصل جمع از 180 درجه کمتر خواهد بود (مثلاً 89 + 89 = 178). بنابراین، برای مکمل بودن، حداقل یکی از زاویهها باید باز۴ یا قائمه باشد.
فرض کنید اندازه زاویه کوچکتر $x$ درجه باشد. بنابراین زاویه بزرگتر $2x$ درجه خواهد بود.مکمل هستند، داریم: $x + 2x = 180$ $3x = 180$ $x = 60$ بنابراین، زاویه کوچکتر 60 درجه و زاویه بزرگتر 120 درجه است.
خیر. این یک قانون کلی نیست. زاویههای مجاور فقط زمانی مکمل هستند که روی یک خط مستقیم قرار گرفته باشند و مجموع آنها دقیقا 180 درجه شود. در بسیاری از اشکال هندسی، زاویههای مجاور میتوانند اندازههای مختلفی داشته باشند.
پاورقی
۱ زاویه مکمل (Supplementary Angles): به دو زاویهای گفته میشود که مجموع اندازههای آنها برابر با ۱۸۰ درجه باشد.
۲ زاویه متمم (Complementary Angles): به دو زاویهای گفته میشود که مجموع اندازههای آنها برابر با ۹۰ درجه باشد.
۳ زاویه حاده (Acute Angle): به زاویهای گفته میشود که اندازه آن از ۹۰ درجه کوچکتر باشد.
۴ زاویه باز (Obtuse Angle): به زاویهای گفته میشود که اندازه آن از ۹۰ درجه بزرگتر و از ۱۸۰ درجه کوچکتر باشد.
