تبدیل اعشار به کسر؛ نوشتن عدد اعشاری به‌صورت کسر با مخرج توان ده و ساده‌سازی آن

تبدیل اعداد اعشاری به کسر: از ساده تا پیشرفته

مفاهیم پایه: اعشار و کسر

عدد اعشاری روشی برای نمایش اعداد غیرصحیح است که با استفاده از ممیز (.) قسمت صحیح را از قسمت اعشاری جدا می‌کند. هر رقم بعد از ممیز نشان‌دهنده‌ی کسری با مخرج توان ده است. برای مثال، در عدد 0.75:

• رقم 7 در جایگاه ده‌تایی به معنی $\frac{7}{10}$ است.
• رقم 5 در جایگاه صدم به معنی $\frac{5}{100}$ است.

بنابراین، $0.75 = \frac{7}{10} + \frac{5}{100} = \frac{75}{100}$.

کسر روشی برای نمایش تقسیم یک عدد بر عدد دیگر است و از دو جزء صورت و مخرج تشکیل شده است. هدف نهایی از تبدیل اعشار به کسر، یافتن ساده‌ترین شکل ممکن آن کسر است.

تبدیل اعشار پایان‌پذیر به کسر

اعداد اعشاری پایان‌پذیر[¹] به اعدادی گفته می‌شود که پس از ممیز، تعداد ارقام محدودی دارند. برای تبدیل این اعداد به کسر مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

1. عدد اعشاری را بدون ممیز در نظر می‌گیریم. این عدد صورت کسر جدید خواهد بود.
2. مخرج کسر را عدد 1 به همراه تعدادی صفر به تعداد ارقام بعد از ممیز قرار می‌دهیم.
3. کسر به دست آمده را تا حد امکان ساده می‌کنیم.

مثال ۱: تبدیل 0.5 به کسر.

• عدد بدون ممیز: 5
• تعداد ارقام اعشار: 1 → مخرج: 10
• کسر اولیه: $\frac{5}{10}$
• ساده‌سازی: بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک[²] 5 و 10، عدد 5 است. پس: $\frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2}$

بنابراین، $0.5 = \frac{1}{2}$.

مثال ۲: تبدیل 0.125 به کسر.

• عدد بدون ممیز: 125
• تعداد ارقام اعشار: 3 → مخرج: 1000
• کسر اولیه: $\frac{125}{1000}$
• ب.م.م 125 و 1000، عدد 125 است. پس: $\frac{125 \div 125}{1000 \div 125} = \frac{1}{8}$

بنابراین، $0.125 = \frac{1}{8}$.

تبدیل اعشار دوره‌ای به کسر

اعداد اعشاری دوره‌ای[³] اعدادی هستند که در آن‌ها یک یا چند رقم به صورت نامتناهی و دوره‌ای تکرار می‌شوند. این ارقام تکرارشونده را با خطی روی آن‌ها نشان می‌دهند، مثلاً $0.\overline{3}$ که نشان‌دهنده‌ی 0.333... است. برای تبدیل این اعداد از روش جبری استفاده می‌کنیم.

مثال ۳: تبدیل $0.\overline{6}$ به کسر.

1. عدد را با متغیر x برابر می‌گیریم: $x = 0.\overline{6}$
2. از آنجایی که فقط یک رقم تکرار می‌شود، طرفین تساوی را در $10^1 = 10$ ضرب می‌کنیم: $10x = 6.\overline{6}$
3. معادله‌ی اول (1) را از معادله‌ی دوم (2) کم می‌کنیم:
   $10x - x = 6.\overline{6} - 0.\overline{6}$
   $9x = 6$
4. معادله را حل می‌کنیم: $x = \frac{6}{9}$
5. کسر را ساده می‌کنیم: $\frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$

بنابراین، $0.\overline{6} = \frac{2}{3}$.

مثال ۴: تبدیل $0.\overline{12}$ (دو رقم تکراری) به کسر.

1. $x = 0.\overline{12}$
2. طرفین را در $10^2 = 100$ ضرب می‌کنیم: $100x = 12.\overline{12}$
3. معادله‌ها را از هم کم می‌کنیم:
   $100x - x = 12.\overline{12} - 0.\overline{12}$
   $99x = 12$
4. $x = \frac{12}{99}$
5. ساده‌سازی: $\frac{12 \div 3}{99 \div 3} = \frac{4}{33}$

بنابراین، $0.\overline{12} = \frac{4}{33}$.

تبدیل اعشاری با بخش غیرتکراری و تکراری

گاهی عدد اعشاری هم بخش غیرتکراری و هم بخش تکراری دارد، مانند $0.16\overline{6}$. برای تبدیل این اعداد، ابتدا بخش غیرتکراری را جدا کرده و سپس از روش جبری استفاده می‌کنیم.

مثال ۵: تبدیل $0.16\overline{6}$ به کسر.

1. عدد را به صورت جمع بنویسید: $0.16\overline{6} = 0.1 + 0.06\overline{6}$
2. قسمت غیرتکراری (0.1) را به کسر تبدیل کنید: $\frac{1}{10}$.
3. برای قسمت تکراری ($0.06\overline{6}$) از روش جبری استفاده کنید:
   • $y = 0.06\overline{6}$
   • از آنجایی که یک رقم غیرتکراری قبل از دوره وجود دارد، طرفین را در 10 ضرب می‌کنیم: $10y = 0.6\overline{6}$
   • حالا برای حذف بخش تکراری، طرفین را دوباره در 10 ضرب می‌کنیم: $100y = 6.\overline{6}$
   • معادله‌ی مرحله‌ی قبل (2) را از این معادله (3) کم می‌کنیم:
     $100y - 10y = 6.\overline{6} - 0.6\overline{6}$
     $90y = 6$
     $y = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$
4. حالا دو بخش را با هم جمع می‌کنیم: $\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$

بنابراین، $0.16\overline{6} = \frac{1}{6}$.

کاربردهای عملی تبدیل اعشار به کسر

این مهارت در موقعیت‌های واقعی زیادی کاربرد دارد. یک آشپز را در نظر بگیرید که در دستور پخت کیک، میزان 0.75 فنجان شکر نیاز دارد. اگر پیمانه‌ی او بر اساس کسرها درجه‌بندی شده باشد (مثلاً $\frac{1}{2}$، $\frac{1}{4}$، $\frac{1}{8}$)، باید بتواند 0.75 را به $\frac{3}{4}$ تبدیل کند تا به راحتی از پیمانه استفاده نماید. یا در خیاطی، اگر طول پارچه 1.5 متر باشد، تبدیل آن به $\frac{3}{2}$ متر درک بهتری از اندازه می‌دهد.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

¹ Terminating Decimal: عدد اعشاری که پس از ممیز، ارقام آن به پایان می‌رسد.

² Greatest Common Divisor (GCD): بزرگ‌ترین عددی که هر دو عدد بر آن بخش‌پذیر هستند.

³ Repeating Decimal: عدد اعشاری که در آن یک یا چند رقم به صورت نامتناهی تکرار می‌شوند.

⁴ Rational Number: عددی که بتوان آن را به صورت کسر $\frac{a}{b}$ نشان داد که در آن a و b اعداد صحیح و $b \ne 0$ است.

⁵ Irrational Number: عددی که نتوان آن را به صورت کسر ساده‌ی دو عدد صحیح نشان داد. ارقام اعشاری آن پایان‌ناپذیر و غیرتکراری هستند.

⁶ Mixed Number: عددی که از یک بخش صحیح و یک کسر ساده تشکیل شده است.