کسر متعارفی؛ کسری که صورت آن کوچک‌تر از مخرج است

کسر متعارفی: درک بخش‌های کوچکتر از کل

کسر چیست و کسر متعارفی چگونه تعریف می‌شود؟

کسر روشی برای نمایش قسمت‌هایی از یک کل است. هر کسر از دو بخش تشکیل شده است: صورت² و مخرج³. عددی که در خط کسر و در بالا قرار می‌گیرد، «صورت کسر» نام دارد و نشان‌دهنده‌ی تعداد قسمت‌های انتخاب‌شده است. عددی که در پایین خط کسر نوشته می‌شود، «مخرج کسر» نامیده می‌شود و نشان‌دهنده‌ی تعداد کل قسمت‌های برابر است که واحد ما را تشکیل داده‌اند.

برای مثال، اگر یک پیتزا را به 8 قطعه‌ی مساوی تقسیم کنیم و 3 قطعه از آن را برداریم، کسر مربوطه می‌شود $\frac{3}{8}$. از آنجایی که 3 ، این یک کسر متعارفی است و مقدار آن همیشه کمتر از 1 است.

انواع مختلف کسرها

کسرها را بر اساس رابطه بین صورت و مخرج می‌توان به دسته‌های مختلفی تقسیم کرد. درک این تقسیم‌بندی به مقایسه و درک بهتر آن‌ها کمک می‌کند.

همانطور که در جدول مشاهده می‌کنید، کسر متعارفی همواره مقداری بین 0 و 1 دارد. کسرهای غیرمتعارفی را می‌توان به عدد مخلوط تبدیل کرد که شامل یک جزء صحیح و یک جزء کسری (که خود یک کسر متعارفی است) می‌شود.

ساده‌سازی کسرهای متعارفی

ساده‌سازی کسر به معنای نوشتن آن به ساده‌ترین شکل ممکن، بدون تغییر در ارزش آن است. به این کار «کاستن کسر» نیز می‌گویند. برای ساده‌سازی، باید بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک⁶ (ب.م.م) صورت و مخرج را پیدا کرده و هر دو را بر آن عدد تقسیم کنیم.

مثال: کسر $\frac{8}{12}$ را ساده کنید.
عوامل اول 8: 2 × 2 × 2
عوامل اول 12: 2 × 2 × 3
ب.م.م: 2 × 2 = 4
حال هر دو را بر 4 تقسیم می‌کنیم: $\frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$
بنابراین، $\frac{8}{12}$ در ساده‌ترین شکل خود معادل $\frac{2}{3}$ است که آن هم یک کسر متعارفی است.

مقایسه و مرتب‌سازی کسرهای متعارفی

برای مقایسه دو کسر متعارفی و تشخیص اینکه کدام بزرگ‌تر است، روش‌های مختلفی وجود دارد. ساده‌ترین روش زمانی است که مخرج‌ها برابر باشند. در این حالت، کسری بزرگ‌تر است که صورت بزرگ‌تری دارد.

مثال: کدام بزرگ‌تر است؟ $\frac{3}{7}$ یا $\frac{5}{7}$
از آنجایی که مخرج‌ها برابر هستند، به صورت‌ها نگاه می‌کنیم. 5 > 3، پس $\frac{5}{7} > \frac{3}{7}$.

اگر مخرج‌ها متفاوت باشند، باید کسرها را به گونه‌ای تبدیل کنیم که مخرج‌های یکسان داشته باشند. به این مخرج مشترک گرفتن می‌گویند. بهترین مخرج مشترک، کوچکترین مضرب مشترک⁷ (ک.م.م) دو مخرج است.

مثال: کدام بزرگ‌تر است؟ $\frac{2}{3}$ یا $\frac{3}{5}$
ک.م.م 3 و 5، عدد 15 است.
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$
$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 3}{5 \times 3} = \frac{9}{15}$
حال که مخرج‌ها برابر شد، می‌بینیم $\frac{10}{15} > \frac{9}{15}$، بنابراین $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$.

کاربرد کسرهای متعارفی در زندگی روزمره و ریاضی

کسرهای متعارفی فقط یک مفهوم تئوری نیستند؛ آن‌ها در بسیاری از موقعیت‌های روزمره و سایر شاخه‌های ریاضی کاربرد فراوانی دارند.

۱. پخت و پز: در دستورهای آشپزی همواره از کسرها استفاده می‌شود. مثلاً «نصف ($\frac{1}{2}$) فنجان شکر» یا «یک‌چهارم ($\frac{1}{4}$) قاشق چای‌خوری نمک». اگر بخواهید دستوری را برای نصف افراد آماده کنید، باید همه‌ی این کسرها را بر 2 تقسیم کنید.

۲. زمان و ساعت: مفهوم «ربع» به معنی یک‌چهارم ($\frac{1}{4}$) ساعت است. وقتی می‌گوییم «یک ربع به ۱۰»، یعنی 15 دقیقه ($\frac{1}{4}$ ساعت) تا ساعت ۱۰ مانده است.

۳. اندازه‌گیری و متره: در خیاطی، نجاری، و ساخت و ساز، برای اندازه‌گیری دقیق اغلب از کسرها استفاده می‌شود. مثلاً طول یک پارچه ممکن است 2$\frac{3}{4}$ متر باشد که جزء کسری آن یک کسر متعارفی است.

۴. احتمال: احتمال رخداد یک حادثه اغلب به صورت یک کسر متعارفی بیان می‌شود. مثلاً احتمال آمدن شیر هنگام پرتاب یک سکهی عادلانه $\frac{1}{2}$ است. احتمال آمدن عدد 3 در تاس $\frac{1}{6}$ است. همه‌ی این‌ها کسرهای متعارفی هستند.

۵. مباحث پیشرفته‌تر ریاضی: این کسرها پایه‌ای برای درک نسبت‌ها⁸، تناسب⁹، و اعداد گویا¹⁰ هستند. همچنین، برای انجام عملیات جمع و تفریق کسرها با مخرج‌های مختلف،باید به مخرج مشترک برسیم که این فرآیند مستلزم درک خوبی از کسرهای متعارفی و مضرب‌ها است.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

¹ کسر متعارفی (Proper Fraction): کسری که در آن مقدار صورت از مخرج کوچکتر باشد.
² صورت (Numerator): بخش بالایی کسر که نشان‌دهنده‌ی تعداد قسمت‌های انتخاب‌شده است.
³ مخرج (Denominator): بخش پایینی کسر که نشان‌دهنده‌ی تعداد کل قسمت‌های برابر است.
⁴ کسر غیرمتعارفی (Improper Fraction): کسری که در آن صورت بزرگ‌تر یا مساوی مخرج باشد.
⁵ عدد مخلوط (Mixed Number): عددی که از ترکیب یک عدد صحیح و یک کسر متعارفی تشکیل شده است.
⁶ بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک - ب.م.م (Greatest Common Divisor - GCD): بزرگ‌ترین عددی که دو عدد بر آن بخش‌پذیر هستند.
⁷ کوچکترین مضرب مشترک - ک.م.م (Least Common Multiple - LCM): کوچکترین عددی که مضرب هر دو عدد باشد.
⁸ نسبت (Ratio): مقایسه‌ی دو مقدار با استفاده از تقسیم.
⁹ تناسب (Proportion): برابری دو نسبت.
¹⁰ اعداد گویا (Rational Numbers): اعدادی که بتوان آن‌ها را به صورت کسری نوشت که صورت و مخرج آن اعداد صحیح باشند و مخرج صفر نباشد.
¹¹ کسر به‌ظاهر (Whole Fraction): کسری که صورت و مخرج آن برابر است و مقدار آن برابر با 1 می‌باشد.