جهت مثبت و منفی: قراردادی برای نشان دادن اعداد روی محور
محور اعداد و پیدایش مفهوم جهت
برای نشان دادن اعداد از خطی مستقیم به نام محور اعداد[1] استفاده میکنیم. یک نقطه روی این خط را به عنوان نقطهی شروع یا مبدأ[2] انتخاب میکنیم و آن را با عدد 0 نشان میدهیم. حالا نیاز داریم تا جهتهای مختلف روی این خط را از هم جدا کنیم. اینجاست که قرارداد جهت مثبت و جهت منفی به کمک ما میآید.
به طور کلی، معمولاً جهت سمت راست را به عنوان جهت مثبت $(+)$ و جهت سمت چپ را به عنوان جهت منفی $(-)$ روی محور افقی در نظر میگیریم. برای محور عمودی، جهت بالا مثبت و جهت پایین منفی است. این یک قرارداد جهانی است که به همه کمک میکند تا یکدیگر را درک کنند، درست مانند اینکه قرمز به معنای «توقف» و سبز به معنای «حرکت» است.
نمایش اعداد مثبت و منفی روی محور
هر عدد روی محور، دو ویژگی دارد: فاصله از مبدأ و جهت نسبت به مبدأ. علامت عدد $(+$ یا $-$) جهت آن را نشان میدهد.
- اعداد مثبت: در جهت مثبت محور (معمولاً راست یا بالا) قرار میگیرند. مانند: +1, +2.5, +10
- اعداد منفی: در جهت مخالف یا جهت منفی محور (معمولاً چپ یا پایین) قرار میگیرند. مانند: -1, -3, -7.2
- عدد صفر: نه مثبت است و نه منفی. این نقطه، مبدأ و محل شروع محاسبات است.
برای مثال، نقطهای که به اندازهی ۵ واحد در جهت مثبت از مبدأ فاصله دارد، نشاندهندهی عدد +5 است. نقطهای که به اندازهی ۵ واحد در جهت منفی فاصله دارد، نشاندهندهی عدد -5 است. این دو عدد قرینه یکدیگر هستند.
| عدد | فاصله از مبدأ | جهت | نمایش روی محور |
|---|---|---|---|
| +3 | ۳ واحد | مثبت (راست) | ———|•••——> (مبدأ) |
| -2 | ۲ واحد | منفی (چپ) | ••|——— (مبدأ) |
| 0 | ۰ واحد | تعریف نشده | ———|•——— (مبدأ) |
کاربرد جهتها در دنیای واقعی و سیستم مختصات
مفهوم جهت مثبت و منفی فقط به یک خط محدود نمیشود. وقتی دو محور (یکی افقی و یکی عمودی) را قطع میدهیم، یک صفحهی مختصات[3] ایجاد میکنیم. این سیستم برای نشان دادن مکان دقیق نقاط روی یک صفحه استفاده میشود. هر نقطه با یک جفت عدد $(x, y)$ نشان داده میشود که به آن مختصات[4] میگویند.
- مختصات $x$: موقعیت افقی نقطه را نشان میدهد (مثبت به راست، منفی به چپ).
- مختصات $y$: موقعیت عمودی نقطه را نشان میدهد (مثبت به بالا، منفی به پایین).
مثال عملی ۱ (نقشهخوانی): فرض کنید در مرکز یک شهر هستید (مبدأ). اگر خیابانی به سمت شرق جهت مثبت $(+x)$ در نظر گرفته شود، آنگاه یک مغازه در مختصات $(+500, 0)$ به این معنی است که ۵۰۰ متر شرق تر از شما قرار دارد. یک پارک در مختصات $(-200, +300)$ به این معنی است که ۲۰۰ متر غرب و ۳۰۰ متر شمال از مکان شما فاصله دارد.
مثال عملی ۲ (دماسنج): محور دما را در نظر بگیرید. نقطهی انجماد آب $(0^\circ C)$ را به عنوان مبدأ در نظر میگیریم. دماهای بالاتر از صفر، مثبت (مثلاً $+25^\circ C$) و دماهای زیر صفر، منفی (مثلاً $-5^\circ C$) هستند.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. این یک اشتباه رایج است. علامت منفی فقط یک جهت را نشان میدهد، نه کیفیت. برای مثال، در حساب بانکی، موجودی منفی $(–100,000)$ تومان به معنای بدهی است. اما در فیزیک، شتاب منفی $(–5 m/s^2)$ فقط به معنای کاهش سرعت یا تغییر جهت است، نه یک چیز «بد».
پاسخ: از نظر ریاضی مشکلی پیش نمیآید، اما باید consistently (به طور یکنواخت) از این قرارداد جدید در تمام محاسبات استفاده کنید. مشکل زمانی پیش میآید که بخواهید با دیگران که از قرارداد استاندارد استفاده میکنند ارتباط برقرار کنید، زیرا دچار سردرگمی خواهید شد. همیشه بهتر است به قرارداد جهانی پایبند باشید.
پاسخ: این نیز یک قرارداد است. ما توافق کردهایم که اگر عددی بدون علامت باشد، به طور پیشفرض مثبت در نظر گرفته میشود. بنابراین، عدد 5 در واقع همان +5 است. اما برای اعداد منفی، همیشه باید علامت $(-)$ را بنویسیم.
پاورقی
[1]محور اعداد (Number Line): یک نمایش خطی از اعداد حقیقی که در آن هر نقطه متناظر با یک عدد است.
[2]مبدأ (Origin): نقطهی صفر روی محور اعداد یا صفحه مختصات که به عنوان مرجع برای اندازهگیری فاصلهها استفاده میشود.
[3]صفحهی مختصات (Coordinate Plane): صفحهای متشکل از دو خط عددی متقاطع (عمودی و افقی) که برای locating points (مکانیابی نقاط) استفاده میشود.
[4]مختصات (Coordinates): یک جفت مرتب از اعداد $(x, y)$ که مکان دقیق یک نقطه را در صفحهی مختصات مشخص میکند.
