رابطهٔ شعاع کره و استوانهٔ محاط

رابطهٔ شعاع کره و استوانهٔ محاط

بازنمایی هندسی و چیدمان اشکال

برای درک رابطهٔ شعاع کره و استوانهٔ محاط، ابتدا باید تصویر ذهنی درستی از آرایش این دو شکل در فضا بسازیم. فرض کنید یک کره به مرکز O و شعاع R داریم. یک استوانهٔ قائم با شعاع قاعدهٔ r و ارتفاع h را چنان درون این کره قرار می‌دهیم که محور استوانه از مرکز کره عبور کند و دو قاعدهٔ استوانه بر سطح داخلی کره مماس شوند. در این حالت می‌گوییم استوانه در کره محاط شده است¹. در مقطع طولی (گذرنده از محور استوانه)، کره به صورت یک دایره به شعاع R و استوانه به صورت یک مستطیل به عرض 2r و ارتفاع h دیده می‌شود که اضلاع آن بر دایره مماس هستند. رأس‌های مستطیل روی محیط دایره قرار می‌گیرند. در این مقطع، فاصلهٔ مرکز کره تا هر یک از اضلاع افقی مستطیل (قاعده‌های استوانه) برابر h/2 است. حال اگر از مقطع عرضی (عمود بر محور استوانه) به شکل نگاه کنیم، یک دایره به شعاع R (برش کره) و یک دایرهٔ هم‌مرکز به شعاع r (برش استوانه) می‌بینیم. این تصویر دو بعدی به ما کمک می‌کند تا با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس² به رابطهٔ اصلی برسیم.

اثبات گام‌به‌گام با قضیهٔ فیثاغورس در مقطع طولی

برای اثبات رابطهٔ r² + h²/۴ = R²، مراحل زیر را به ترتیب دنبال می‌کنیم: گام اول: رسم مقطع طولی مناسب فرض کنید محور x را بر امتداد محور استوانه و مبدأ را در مرکز کره قرار می‌دهیم. در این صورت، مرکز کره در نقطهٔ (0,0) و معادلهٔ دایره (برش کره) به صورت $ x^2 + y^2 = R^2 $ است. ضلع راست استوانه در فاصلهٔ افقی y = r از محور مرکزی قرار دارد. گام دوم: تعیین مختصات نقطهٔ تماس قاعدهٔ بالایی استوانه در ارتفاع x = h/2 نسبت به مرکز کره قرار می‌گیرد. نقطهٔ گوشهٔ استوانه (محل برخورد قاعده و بدنه) مختصات (h/2 , r) دارد. این نقطه باید روی دایره (برش کره) قرار گیرد. گام سوم: اعمال شرط قرارگیری روی دایره مختصات این نقطه را در معادلهٔ دایره جایگذاری می‌کنیم: $ \left(\frac{h}{2}\right)^2 + (r)^2 = R^2 $ گام چهارم: ساده‌سازی عبارت با ساده‌سازی جملهٔ اول داریم: $ \frac{h^2}{4} + r^2 = R^2 $ که همان رابطهٔ مورد نظر است. اثبات کامل شد.

مقایسهٔ حالت‌های مختلف محاطی برای یک کره ثابت

برای یک کره با شعاع ثابت R، می‌توان استوانه‌های محاطی با نسبت‌های مختلف ارتفاع به شعاع داشت. جدول زیر سه حالت متفاوت را نشان می‌دهد (فرض R = 5): همان‌طور که مشاهده می‌شود، با افزایش ارتفاع، شعاع قاعده کاهش می‌یابد تا در حالت حدی که ارتفاع برابر قطر کره (h = 2R) می‌شود، شعاع قاعده به صفر می‌رسد و استوانه به یک پاره‌خط تبدیل می‌شود.

کاربرد عملی: یافتن بیشترین حجم استوانهٔ محاطی

یکی از جالب‌ترین کاربردهای رابطهٔ r² + h²/۴ = R²، یافتن ابعاد استوانه‌ای است که درون یک کرهٔ معین بیشترین حجم را داشته باشد. حجم استوانه از رابطهٔ $ V = \pi r^2 h $ به دست می‌آید. با استفاده از رابطهٔ محاطی می‌توانیم r² را بر حسب h بیان کنیم: $ r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4} $ بنابراین حجم بر حسب ارتفاع به صورت زیر نوشته می‌شود: $ V(h) = \pi \left(R^2 - \frac{h^2}{4}\right) h = \pi R^2 h - \frac{\pi}{4} h^3 $ برای یافتن بیشینهٔ حجم، مشتق V نسبت به h را صفر قرار می‌دهیم: $ V'(h) = \pi R^2 - \frac{3\pi}{4} h^2 = 0 $ $ \Rightarrow \frac{3\pi}{4} h^2 = \pi R^2 \Rightarrow h^2 = \frac{4}{3} R^2 \Rightarrow h = \frac{2R}{\sqrt{3}} $ سپس شعاع قاعده در این حالت برابر است با: $ r^2 = R^2 - \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} R^2 = R^2 - \frac{R^2}{3} = \frac{2}{3} R^2 \Rightarrow r = R \sqrt{\frac{2}{3}} $ و بیشترین حجم ممکن برابر $ V_{\max} = \pi \times \frac{2}{3} R^2 \times \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{4\pi R^3}{3\sqrt{3}} $ خواهد بود.

چالش‌های مفهومی

جمع‌بندی

پاورقی